PRODUIT SCALAIRE

( 8 questions traitées )

1 ) 1ere application ( 2 questions traitées )

2 ) Equations de plan (3 questions traitées )

3 ) Sphère et plan ( 3 questions traitées )

Sauf mention contraire explicite, l'espace est rapporté à un repère orthonormal :

EXERCICE 1 : Produit scalaire.

Soit A(3 , - 2 , 4 ), B ( - 2 , 1 , 3 ) et C( 1 , 1 , a )

a/ Comment choisir a pour que ABC soit un triangle rectangle en A ?

b/ Calculer alors la mesure en degrés de l'angle ABC.

SOLUTION :

a/ Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires si et seulement

Les vecteurs

Le cosinus de l'angle ABC se calcule

EXERCICE 2 : Equations de plan

On considère les plans P et Q d'équations respectives

2x - 4y + 3z + 5 = 0 et x - 2y + 3z -2 = 0.

a/ Vérifier que P et Q ne sont pas parallèles.

b/ Déterminer un système d'équations paramétriques de leur intersection D.

c/ Former une équation cartésienne du plan R passant par A( 2,-2,0 ) et perpendiculaire à P et à Q.

Méthode :

Le parallélisme ou l'orthogonalité de plans se décide au vu de vecteurs normaux à l'un et à l'autre.

SOLUTION :

a/ Les plans P et Q admettent pour

b/ Un vecteur directeur de l'intersection D de P et Q

Le plan R passant par A et perpendiculaire à P et Q

EXERCICE 3 :sphère et plan

a/ On considère l'ensemble de point défini par :

x² + y² + z² - 4x - 2y + 6z + 5 = 0.

a/Montrer que c'est une sphère S, dont on précisera le centre et le rayon.

b/ Montrer que le plan P d'équation

2x - y + 3z - 2 = 0 coupe S suivant un cercle.

c/ Préciser le centre et le rayon de ce cercle.

Solution :

La distance de W au plan P d’équation