Barycentre

 

Préparation interrogation

Préparation au baccalauréat.

( 6 questions traitées )

1 ) Détermination de coefficients a, b et c : Ex.1 ( 2 questions traitées en détail )

2 ) Barycentre - Ligne de niveau : Ex.2 ( Méthode , 2 questions traitées en détail )

 3 ) Démontrer que les droites sont concourantes.  Ex.3 ( Méthode , 2 questions traitées en détail )

 

 

S

Barycentre

Exercice 1 :

a/

Soit un triangle ABC. Le point G est défini par:

Déterminer des coefficients a, b et c tels que le point G soit le barycentre du système de points pondérés (A; a), (B; b) et (C; c).

b.

Soit un tétraèdre ABCD.

Le point G est le symétrique du point A par rapport au centre de gravité I de la face BCD.

Déterminer des coefficients a, b, c, d tels que le point G soit le barycentre du système de points pondérés (A; a), (B; b),(C; c) et (D; d).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution :

a ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE 2 : Barycentre - Lignes de niveaux.

 

Soit un triangle ABC d'un plan P.

Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points M du plan P tels que:

Les vecteurs sont colinéaires.

 

 

METHODE :

 

- Appliquer le théorème sur la réduction des sommes vectorielles

et si la condition équivaut à :

 

- MG = r, r ³ 0 : l'ensemble cherché est alors le cercle de centre G et de rayon r.

ou

- u et MG sont colinéaires : l'ensemble cherché est alors la droite de vecteur directeur u passant par le point G.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution :

On réduit la somme vectorielle en utilisant un barycentre.

Celui-ci existe car 1 + 3 + 4 ¹ 0.

a/

Soit G le barycentre du système de points pondérés :

(A; 1), (B; 3), (C; 4).

Pour tout point M du plan, on a :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b/

Soit G le barycentre du système de points pondérés :

(A ; 1), (B ; 1), (C ; 2).

Pour tout point M du plan, on a:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

Démontrer que les droites sont concourantes.

Exercice :

Soit un triangle ABC.

On définit les points I, J et K par :

Démontrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes.

 

METHODE :

- Traduire les égalités vectorielles en termes de barycentres.

- Ajuster les coefficients pour définir un barycentre global G.

- Associer les points pour en déduire des alignements avec le point G.

- G est le point de concours des droites considérées.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution :

On transforme chaque égalité vectorielle donnée par l'énoncé afin d'obtenir une égalité équivalente de la forme: