STATISTIQUES PREPARATION INTERROGATION EXERCICE 1

        1 ) Répartition par branches
        Représentez la répartition par branches de l'activité du groupe
       à l'aide d'un diagramme en bâtons.

            METHODES :
        Dans un diagramme en bâtons, les hauteurs des bâtons sont
            proportionnelles aux pourcentages.

SOLUTION :

Pour 0,5 cm pour 2 % en ordonnée.

IL S'AGIT D'UN DIAGRAMME EN BATON EN 3 D

2 - DIAGRAMME CIRCULAIRE

EXERCICE :

Répartition des ventes par marque en 1993

    Ce diagramme donne la répartition par marque des ventes de 4 x 4 en France.

    Construisez un diagramme circulaire donnant cette répartition.

        METHODE :
        Dans un diagramme circulaire, l'angle au centre de chaque secteur
        est proportionnel au pourcentage. Faites un tableau de
        proportionnalité pour le coefficient de proportionnalité.
        est (360° pour 100 %).

SOLUTION :

3 - HISTOGRAMME

Exercice :

Au 1er janvier 1994,

26,4 % des habitants de la France ont moins de 2 ans,

58,9 % ont entre 20 et 64 ans et

14,7 % ont 65 ans et plus
(I.N.S.E.E., T.E.F, 93/94).

Construisez un histogramme donnant la répartition de la population française suivant l'âge au 1/1/1994.

        METHODE :
        L'aire de chaque rectangle doit être proportionnelle au pourcentage.
        Vous connaissez la largeur du rectangle (c'est la longueur de
        l'intervalle).
        Construisez un tableau pour en déterminer la hauteur.

SOLUTION :

    Choisissons 100 ans comme borne supérieure du dernier intervalle.

    Les trois intervalles sont alors [0, 20 [ , [20, 65[ et [65, 100].

(Explications :

Répartition de la population française par classe d'âge :

Unité: 1 cm pour 20 ans

4 - MOYENNE. ECART TYPE

EXERCICE :

    Le tableau ci-après donne la distribution des
    salaires annuels nets de prélèvement des agents titulaires de la
    fonction publique en 1992.

    1° Déterminez la moyenne et l'écart type de cette série statistique.

    2° Déterminez le pourcentage des personnes dont le salaire appartient à l'intervalle

            METHODE :

        Pour les calculs, on prend le milieu de la classe. La première et la
        dernière classe doivent être arbitrairement bornées.

        Pour calculer l'écart type, on a le choix entre deux formules
        Lorsque les valeurs des xI sont grandes (comme c'est le cas ici), la
        première formule est la plus indiquée.

SOLUTION :

    1° On suppose que la première classe est [70000, 74810] et la dernière
    [226820, 270000].


       Calcul de (x_i est le milieu de la classe)

Calcul de

Donc :

2°

Près de 95 % de l'effectif a un salaire appartenant à l'intervalle

5 - INDICES

EXERCICE :

   1° Production

    Reprise confirmée, mais fragile, dans l'industrie
    Indice CVS, base 100 en 1985

      113,6      113,6    113,10    110,90    109,10        108,5    109,1       107,90       108,6
       1T/92    2T/92      3T/92      4T/92      1T/93        2T/93     3T/93     4T/93         1T/94

    lnfomatin. 10/8/94
    a) Déterminez les nouveaux indices de la production industrielle en
    choisissant, pour base 100, le 1er trimestre 92.

    b) Déduisez-en la variation en pourcentage de la production industrielle de la
    France entre le 1er trimestre 92 et le 1er trimestre 93; entre le 1er trimestre 92
    et le 1er trimestre 94.

2° Dette de l'état

    a) En choisissant pour base 100 l'année 1992, déterminez l'évolution de la
    dette de l'état français.

    b) Quelle est l'augmentation en pourcentage entre 1982 et 1986 ? Entre 1982
    et 1995?

        COMMENTAIRE :

        Les indices permettant d'évaluer une évolution en pourcentage par
        rapport à une année de référence. Il suffit de remplir un tableau de
        proportionnalité, le coefficient étant pour la question 1°

et pour la question 2°.

SOLUTION

1° a)

    b) La production industrielle a baissé de 4 % entre le 1er, trimestre 92 et le 1er
    trimestre 93; et de 4,4 % entre le 1er trimestre 92 et le 1er trimestre 94.-

2° a)

b) Entre 1982 et 1986, la dette augmente de 93,7 %.
Entre 1982 et 1995, la dette augmente de 410,5 %.

6 - PROPORTIONS :

EXERCICE :

    Le dessin ci-dessus donne, en pourcentages, les contributions des différents
    pays membres de l'ESA (Agence spatiale Européenne).

    La contribution de la France au projet Hermès construction d'une navette
    spatiale européenne est d'environ 12,5 milliards de francs (MdF).
    A partir de ces données, évaluez en milliards de-francs :

    a) Le budget global du projet.

    b) La contribution de chacun des membres de l'ESA, au projet.


   METHODE :

        L'ensemble de référence étant le même (budget global du projet), les
        contributions de chaque membre, en francs, sont proportionnelles
        aux pourcentages indiqués sur le diagramme.

SOLUTION :

Désignons par B le budget global du projet.

a) En ce qui concerne la France, on a la proportion :

b) La contribution de l'Allemagne, notée a, s'obtient en écrivant la proportion :

Les autres résultats s'obtiennent de la même manière. Le tableau suivant résume l'ensemble de ces résultats :

    7 - ENSEMBLES ET POURCENTAGES

EXERCICE :

    Dans un magasin, un stock d'appareils est constitué pour 70 % d'appareils venant d'une usine A et pour 30 % d'appareils venant d'une usine B.

   Parmi les appareils venant de A, 15 % ont un défaut, alors que 10 % de ceux venant de B ont un défaut.

    1° Quel est, dans le stock, le pourcentage d'appareils ayant un défaut ?

    2° Parmi les appareils ayant un défaut, quel est le pourcentage de ceux provenant de A?

    3° Parmi les appareils n'ayant pas de défaut, quel est le pourcentage de ceux provenant de B ?


        METHODE :
        Les données de l'énoncé, sous la forme de pourcentages, sur des ensembles de référence variés. Pour mieux représenter la situation, il est souhaitable d'utiliser un diagramme pour mettre en évidence les données.

SOLUTION

Désignons respectivement par S, A, B, D, les ensembles des appareils du stock, des appareils fabriqués par A, de ceux fabriqués par B, de ceux qui sont défectueux et enfin des appareils sans défaut.

- est l'ensemble des appareils défectueux, provenant de A et

est l'ensemble de ceux défectueux provenant de B.

- est l'ensemble des appareils sans défaut provenant de A et .l'ensemble de ceux, sans défaut, provenant de B.

1° Désignons par n l'effectif du stock.

On en déduit que :

- L'effectif de A est et celui de B est .

- L'effectif des appareils défectueux provenant de A est

et celui de ceux provenant de B est

Globalement : appareils sont défectueux.

Le pourcentage des appareils défectueux est donc le nombre

Remarque : Vous constatez que la valeur de n n'intervient pas dans le pourcentage, ce qui justifie le fait qu'il n'était pas précisé dans l'énoncé.

2° Dans cette question L'ensemble des référence est l'ensemble D. Le pourcentage, parmi les appareils défectueux, de ceux provenant de A est le nombre :

Soit 77,78 %.

3° L'ensemble de référence est l'ensemble des appareils sans défaut.

Le nombre de ces appareils est égal à

n - 0, 135n = 0,865n et parmi ceux-ci

0,3n - 0,03n = 0,27 0n proviennent de B.

Le pourcentage des appareils sans défaut, provenant de B, est le nombre :

8 - ARBRE ET POURCENTAGE

EXERCICE :

On considère les participations en capital suivantes.

    signifie que la société A possède t % du capital de la société B. La part de la
    société A, dans les avoirs de la société B est donc, en pourcentage,
    égale à t %.

    1° a) Quelle est la part, en pourcentage, détenue par la société U.A.P., à
            travers la Compagnie Industrielle exclusivement, dans le capital du
            groupe Victoire ?

    b) Déduisez-en la part de l'U.A.P. dans le capital du groupe Victoire, part
        obtenue directement et part indirecte obtenue à travers la Compagnie
        Industrielle.

    2° a) L'U.A.P. possède aussi, au travers de la compagnie Suez, une part du
    capital de Victoire. Calculez cette part.

    b) Faites le bilan final de la participation, en pourcentage, de l'U.A.P.
        dans le capital de Victoire.

    3° a) Déduisez-en la part, en pourcentage, de l'U.A.P. dans le capital de
    Colonia Konzern.

    b) Refaites les calculs pour déterminer dans ce même capital la part en
    pourcentage, de la compagnie Suez.

        METHODE :
        Cet exercice porte essentiellement sur la notion de pourcentages

SOLUTION :

    Les réponses aux diverses questions s'obtiennent en utilisant la règle des
    pourcentages de pourcentages (les pourcentages sont alors écrits sous leur
    forme décimale).

    1° a)  La part de l'U.A.P., à travers la Compagnie Industrielle, est égale à :
        0,501 x 0,461 = 0,231 du capital du groupe Victoire, soit 23,1 % de
            celui-ci.

    b)     L'U.A.P. possède donc indirectement 23,1 % auxquels s'ajoutent 10,9 %
        de part directe soit, au total, 23,1 + 10,9 = 34 % du capital du groupe
        Victoire.

    2° a) A travers Suez et la Compagnie industrielle, l'U.A.P. possède aussi une
        part du capital du groupe Victoire. Celle-ci est égale à :
            soit 3,1 % de ce capital.

    b)     Finalement, l'U.A.P. possède 34 % + 3,1 % = 37,1 % du capital du
        groupe Victoire.

    3°
        a) Le groupe Victoire contrôle 78,8 % du capital de Vinci qui contrôle
        lui-même 75 % du capital de Colonia Konzern.
        L'application de la règle des pourcentages de pourcentages indique
            que l'U.A.P. possède :

            0,371 x 0,788 x 0,75 = 0,219    du capital de Colonia  Konzern,
            soit 21,9 % de celui-ci.

    b)     La compagnie Suez possède 0,501 x 0,501 + 0,271, soit 0,522 du
        capital du groupe Victoire, soit 52,2 % .Sa part du capital de Colonia
        Konzern est donc égale à :

            0,522 x 0,788 x 0,750 = 0,309 de celui-ci soit 30,9 %.

9 - POURCENTAGE ET ARTICLE ECONOMIQUE

EXERCICE :

Avec une croissance limitée à moins de 1% au mois d'août, la stagnation du marché automobile français se confirme. Depuis le début de l'année, la progression des ventes reste cantonnée à un modeste 0,17%. Sur les 152364 véhicules commercialisés le mois dernier, Renault s'est taillé là part du lion. En hausse de 20 % par rapport au mois d'aoùt 1991, les ventes de la Régie, grâce à la Clio et à la R19 notamment, ont
représenté 31,4% du marché. Par contraste, celles du groupe PSA, en baisse sensible, ne dépassent pas 28,1% de part de marché en dépit des résultats honorables de Citroën.

1° a) Quel est le nombre de voitures commercialisées par Renault en août 1992 ?

    b) Déduisez-en le nombre de voitures commercialisées par Renault en aoû 1991.

    2°     Quel est le nombre de voitures vendues par le groupe PSA* en août 1992 ?

    3°     Dire que le marché automobile a augmenté de 1% en août 1992 signifie que les ventes d'août 1992 sont supérieures de 1 % à celles d'août 1991.

        a)     Combien de voitures ont été vendues en France en août 1991 ?

        b)     Déduisez-en la part, en pourcentage, de Renault en août 1991.

METHODE :

Dans cet exercice, bâti à partir d'un article de journal, vous êtes invités à compléter certaines informations, soit en données absolues, soit en données relatives (pourcentages).

Les solutions seront obtenues à partir de la définition d'un pourcentage d'évolution.

SOLUTION :

1° a) y désigne le nombre de voitures vendues par Renault en 1992; alors :

b) Si nous désignons par x les ventes de Renault en août 1991, l'augmentation de 20% se traduit par :

Vous avez vu, en cours, qu'une augmentation de t % (ici t = 20) d'une grandeur x se traduit par une multiplication de x par

soit ici par 1,20.

En utilisant cette remarque on pouvait donc écrire :

2° La part de PSA est de 28,1% dans un marché de 152 368 véhicules soit environ 42 814 unités.

3° a) Le marché ayant augmenté de 1% d'août 1991 a août 1992, le nombre de véhicules vendus, en France, en août 1991 était donc

soit environ 150855.

b) La part de Renault dans ce marché d'août 1991 était donc, en pourcentage :

    10 - REGROUPEMENTS EN CLASSES.      HISTOGRAMMES

EXERCICE :

HISTOGRAMMES

    Un correcteur communique la répartition des notes obtenues par 50 candidats
    en donnant le diagramme en bâtons ci-dessus.
    Il propose aussi trois regroupements en classes :

    1°    Des classes d'égale amplitude :
        [0,5[, [5, 10[, [10, 15[, [15,20[;

    2°     Des classes à bornes fixées :
        [0, 8 [, [8, 10 [, [10, 12 [, [12, 14 [, [14, 16 [16, 20[.

    3°     Des classes à effectif égal : 10.

    Après avoir opéré chaque regroupement, vous construirez l'histogramme
    correspondant, vous repérerez le mode ou la classe modale, et vous
    déterminerez avec votre calculatrice la moyenne et l'écart type.

    Quels sont les avantages et les inconvénients des divers regroupements ?


        METHODE :

        -     L'un des intérêts d'un tableau, par rapport à une liste, dans la
            présentation des données est de faciliter la lecture.
        -     Il y a ainsi nécessité pour la personne qui reçoit l'information de
            bien lire le tableau : par exemple, 4 élèves ont obtenu la note 3 et
            5 élèves la note 9.
        -     Pour calculer l'effectif de la classe [0,5[, on ajoute le nombre
            d'élèves ayant obtenu la note 0 successivement aux nombres
            d'élèves ayant obtenu la note 1, la note 2, la note 3 et la note 4.

SOLUTION :

1°

    La classe modale est la classe ayant le plus grand effectif. Il s'agit donc de la
    classe [5,10[.

La moyenne est :

L'écart type est :

2°

La classe modale est : [8,0[. La moyenne est : 9,04.

L'écart-type est : 4,63.

3° Pour opérer le regroupement en classes à effectif égal, on utilise le polygone des effectifs cumulés croissants.

    On déduit de ce diagramme le regroupement même fréquence 20%) :

    Dans cet histogramme, tous les rectangles ont la même aire.
    La classe [0, 5] a pour effectif 10 élèves : il y a 9 élèves qui ont obtenu 4 ou
    moins de 4, le 10e a obtenu 5.
    Dans la classe [5, 8], on compte du 11e élève qui a obtenu 5 au 20e élève qui
    a obtenu 8, et ainsi de suite...

    La moyenne est :

L'écart type est : 4,5.

11 - CALCUL DE LA MEDIANE PAR INTERPOLATION LINEAIRE

EXERCICE :

Le tableau suivant donne le nombre des entreprises de l'agro-alimentaire en fonction de l'effectif des salariés en 1985.

(Source I.N.S.E.E.)

    Calculez la médiane de cette série statistique.


     METHODE :
    Dans cet exercice, la médiane est le nombre m de salariés pour lequel la
    moitié des entreprises (soit 50 % des entreprises) a un effectif inférieur
    ou égal à m, et l'autre moitié un effectif supérieur ou égal à m.

SOLUTION :

    Nous complétons ce tableau par celui des fréquences cumulées.
    Nous constatons que 67,3% des entreprises ont un effectif inférieur ou égal à
    49 salariés. Comme 26% des entreprises ont un effectif inférieur à 20 salariés,
    la médiane appartient à la classe [20, 49].

    on utilisera l'intervalle [20, 50 [.

    Déterminons la valeur de la médiane à l'aide du nombre d'entreprises.

    L'effectif moitié est de 3 898 : 2 = 1 949.

    On détermine les effectifs cumulés successifs jusqu'à celui qui dépasse
    l'effectif moitié.
    Dans la deuxième classe, on a : 1 610 + 1 014 = 2 624.

    On effectue ensuite une interpolation linéaire dans la classe [20, 50 [.

Cela signifie que, par approximation, on suppose les effectifs salariés également répartis à l'intérieur de cette classe.

    L'effectif de 1 610 salariés correspond à une différence de 30 sur l'axe des
    abscisses.
    L'effectif de 1 949 - 1 014 = 935 correspond donc à une différence de :

    La médiane est alors : 20 + 17 = 37.

    Remarque :

                Le raisonnement ci-dessus, appelé interpolation linéaire,
                utilise l'équation de la droite (AB) de la figure, et la
                recherche de l'abscisse d'un point M de cette droite
                 connaissant son ordonnée.

12 - PYRAMIDES DE SALAIRES ( HOMMES FEMMES )

EXERCICE :

On donne les pyramides des salaires pour les hommes et les femmes du
secteur privé et semi-public, en 1984 et 1991.

Salaires mensuels nets par tranche de 10 % en francs 1991

HOMMES

1984 1991

FEMMES

    1° Donnez le salaire médian chez les hommes et chez les femmes, en 1984 et
    en 1991.
    Quel est le pourcentage d'augmentation du salaire médian entre 1984 et
    1991 chez les hommes ? chez les femmes ?

    2° Calculez le rapport entre le salaire du dixième le mieux rémunéré et le
    salaire du dixième le moins rémunéré chez les hommes en 1984, puis en
    1991.

    3° Effectuez le même calcul chez les femmes.

    4° Quelle conjecture pouvez-vous tirer concernant l'éventail des salaires
    féminins et masculins ?


        METHODE :
        Le tableau concerne les personnes qui travaillent dans le secteur
        privé et semi-public.

        L'étendue des salaires n'est pas donnée ; le pourcentage d'hommes
        et de femmes dans cette population n'est pas donné non plus.
        Le salaire médian est le salaire tel que la moitié des salariés gagne
        davantage et la moitié gagne moins.

SOLUTION

    1° Le salaire médian chez les femmes était de 6 510 F par mois en 1984 ;
    sept ans après il est de 7 010F.

Le salaire médian chez les femmes a donc progressé d'environ 7,7%.

    Le pourcentage d'augmentation chez les hommes durant cette période n'est
    que de 4,8%.

2° Chez les hommes en 1991 on calcule le rapport

        Chez les hommes en 1991 on calcule le rapport On trouve
        environ 3,2. En 1984, ce rapport était de 3,1.
.
    3°     En 1991, chez les femmes, ce rapport est de 2,5. En 1984, il était de 2,4.

    4°     On peut dire que l'éventail des salaires féminins est moins ouvert que
        celui des hommes ; c'est-à-dire que lorsque les femmes montent dans la
        hiérarchie, elles sont moins bien payées que les hommes qui montent ou
        bien elles n'accèdent pas aux postes les mieux rémunérés.

13 - EFFECTIFS, FREQUENCE, MARGINAUX.

EXERCICE :

Les résultats de l'étude de deux caractères X et Y sur une certaine population
sont présentés dans le tableau d'effectifs suivant :

1° Calculez

    1°     Calculez les effectifs marginaux. Quel est l'effectfif total ?

    2°     Déterminez les fréquences marginales suivant le caractère X, puis
        suivant le caractère      Y.

    3°     Quel est le pourcentage d'individus parmi la population totale possédant
        la valeur 15 du caractère Y ?

    4°     Quel est le pourcentage d'individus parmi la population totale possédant
        la valeur 12 du caractère X ?


    METHODE :
        - La population étudiée n'est pas précisée.

        - Il s'agit d'un tableau d'effectifs. L'importance numérique de cette
        population est donc la somme des effectifs contenus dans toutes
        les cases du tableau.

        - Le caractère X prend les valeurs 7, 12 et 17.
        La caractère Y prend les valeurs 5, 10, 15 et 20.
        - Le tableau comporte 3 lignes et 4 colonnes.

        - Le nombre N32, égal à 11, signifie qu'il y a 11 individus associés au
        couple (17, 10), c'est-à-dire possédant à la fois la valeur 17 du
        caractère X et la valeur 10 du caractère Y.

        - Les marges ne sont pas données ; c'est l'objet de la question 1° .

SOLUTION

On vérifie ce résultat en effectuant la somme des effectifs de la ligne "total".

    1°     On obtient les effectifs marginaux en additionnant les effectifs par ligne et
        par colonne.

    La somme des effectifs de la colonne “total” donne l'effectif total.
    On vérifie ce résultat en effectuant la somme des effectifs de la ligne “total”.


    L'effectif total est de 80 individus.

    2°     Les fréquences marginales suivant le caractère X se placent en marge
        de la colonne “total”.

    On calcule les pourcentages correspondant aux effectifs marginaux :
    par exemple, pour la valeur 7 du caractère X, l'effectif est de 28, l'effectif
    global étant de 80, la fréquence marginale x (exprimée en %) correspondante
    est donnée par :
    Les fréquences marginales suivant le caractère Y se placent en marge de la
    ligne “total”.
    On calcule les pourcentages correspondant aux effectifs marginaux.



    3°     Le pourcentage d'individus possédant la valeur 15 du caractère Y se lit
        dans la ligne “fréquences marginales”. Il est de 37,5%.

    4°     Le pourcentage d'individus possédant la valeur 12 du caractère X se lit
        dans la colonne “fréquences marginales ”. il est de 30%.

14 - REPARTITION DE POPULATION SUIVANT DEUX CARACTERES

EXERCICE :

Le tableau suivant donne la répartition d'une population de 100 ménages selon les deux caractères X et Y suivants . X, nombre de pièces habitées et Y, nombre d'enfants.

1° Dressez le tableau des fréquences par rapport aux nombres d'enfants pour chaque type de logement.

2° Dressez le tableau des fréquences par rapport aux types de logement pour chaque catégorie de ménages.

3° Répondez aux deux questions suivantes :

a) Parmi les familles ayant 2 enfants, quel est le pourcentage de celles habitant 3 pièces ?

b) Parmi les familles habitant 3 pièces, quel est le pourcentage de celles qui ont 2 enfants ?

4° Construisez le tableau théorique obtenu par produit des fréquences marginales et comparez avec le tableau donné en construisant le tableau des écarts.

Tableau des fréquences - tableau théorique - tableau des écarts

METHODE :

- La population étudiée est de 100 ménages. Le tableau d'effectifs donné peut donc aussi s'interpréter comme un tableau des fréquences.

- Les marges représentent alors à la fois la répartition marginale et les fréquences marginales exprimées en %.

SOLUTION :

1° Le tableau des fréquences par rapport aux totaux de lignes donné, pour chaque nombre de pièces, la répartition des familles selon le nombre d'enfants.

Par exemple pour la valeur (3, 2) du couple (X, Y), l'effectif est de 15 ; l'effectif total de la 3^e ligne étant de 38, la fréquence f (exprimée en %) par rapport au total de la ligne pour cette valeur (3, 2) est donnée par :

2°

Le tableau des fréquences par rapport aux totaux de colonnes permet d'avoir, pour chaque nombre d'enfants, la répartition des familles selon le nombre de pièces.

3°

a) 46,9 % b) 39,5%

4° Le tableau théorique se construit en faisant le produit des fréquences marginales.

Par exemple : que l'on arrondit à 1%.

Par différence entre les deux tableaux, on obtient le tableau des écarts :