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ch 1
polynômes du second
degré
38 RESOLUTIONS DETAILLEES
I -
L’ESSENTIEL DU COURS
II METHODES DE
RESOLUTION
III PREPARATION INTERROGATION
I - L’ESSENTIEL DU
COURS
II METHODES DE RESOLUTION
| II -
1 Pour résoudre ax2 + bx + c = 0. 1ere méthode :
calculer le discriminant D = b2 - 4ac
Si D< 0
Si D= 0
Si D> 0
|
2 ème méthode : Si
les coefficients le permettent on peut rechercher une « solution évidente »
3ème méthode :
Si l’équation du second degré admet deux solutions x1 et x2
,
|
| II - 2
Pour trouver le signe d’un polynôme de degré deux P(x)
= ax2 + bx + c , a non nul :
Si D = b2 - 4ac < 0
,
Si D = b2 - 4ac = 0 ,
Si D = b2 - 4ac > 0 ,
|
II- 3 Pour factoriser un polynôme de degré deux : P(x) = ax2
+ bx + c. Cas général :
Si D = b2 - 4ac < 0 ,
Si D = b2 - 4ac = 0 ,
Si D = b2 - 4ac > 0 ,
|
|
III
PREPARATION INTERROGATION
III - 1 RESOLUTION
D’EQUATIONS : 19 exercices corrigés en détail
| METHODE :
Il s'agit de mettre scrupuleusement en pratique la procédure suivante :
L'équation ax 2 + bx + c = 0, où a
¹ 0,
| est-elle d'un type particulier :
b = 0 ou c = 0 ?
Si oui, la résolution est alors immédiate.
voir les exercices ci dessous
|
Si non, a-t-elle une solution connue ou aisément déterminable ? Si
oui et si a est cette solution, factorisez par x - a.
Si non, appliquez les formules générales en calculant le discriminant D défini par : D
= b2- 4ac.
Si D ³ 0,
Si D < 0,
Ou bien, utilisez la forme canonique. |
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| Résoudre dans R :
(E) : x2 - 3x + 7 = 0 |
Calcul de D :
|
| Résoudre dans R : (E) : 2x2 + 5x + 1 = 0
|
Calcul de D
calcul de x1 et x2 :
|
| Résoudre dans R :
(E) : x2 - 2x + 1 = 0
|
Calcul de D :
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels
:(E1) 4X2 + 1 = 0.
|
SOLUTION L' équation
(E1)
, est
du type particulier :
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels, (E2) : x2 - 7x = 0
|
L' équation (E2)
est du type particulier :
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels, (E3) x2 + 2x - 3 = 0
|
L'équation (E3) présente une solution aisément
décelable :
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels, (E4) x2 + 4x + 7 = 0.
|
L' équation (E4)
nécessite l'emploi de la forme
canonique ou celui des formules générales.
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels, (E5) : x2 - 9 = 0
|
L' équation (E5) est du type particulier :
|
| Résolvez, dans l'ensemble des nombres réels, (E6) 6x2 - x - 12 = 0.
|
L' équation (E6) nécessite l'emploi de la forme
canonique ou celui des formules générales. Le discriminant de
l'équation (E6) est :
|
| Résoudre :
(x² + x)² + 2 (x² + x) - 8 = 0
|
Solutions: 1)
|
| 2 ) Résoudre: x4
- 3x² + 2 = 0
|
Solution :2)
|
| Déterminer deux nombre x1 et x2
connaissant leur somme
S = - 37 et leur produit P = 300.
x1 + x2 = - 37
x1. x2 = 300 ,
|
Solution :
|
| Déterminer une équation du cercle (G) répondant aux conditions suivantes : (G) a pour centre A(2;3) et pour rayon R = 3
(Cf I - 6) .
|
Solution :
|
Cas particuliers:
| a) Recherche de racines évidentes : Résoudre
dans R : x2 + x - 12 = 0
|
|
| b) Équation du type 4x2 - 1 = 0
|
|
| c) Équation du type 8x2 + 5 = 0 |
|
EQUATIONS du SECOND DEGRE
Résolvez, en utilisant la méthode la mieux adaptée, les équations
suivantes :
METHODE :
Avant d’envisager l’utilisation des formules, examinez avec attention
le premier membre de chacune de ces équations.
Dans certains cas, vous pouvez conclure directement. |
| (14) : 2x2 - 3x = 0.
|
Solution
: (14)
|
| (15) :
x2
+ 4 = 0.
|
Solution :(15)
|
| (16) x2
+ 2x + 3 = 0.
|
Solution :(16)
|
| (17) : 8x2 + 8x + 2= 0.
|
Solution
: (17)
|
| (18) : 3x2 - 4x + 1 = 0.
|
Solution
: (18)
|
| (19) : 8x2 - 8x + 2 = 0.
|
Solution (19)
|
III
- 7 RESOLUTION D’INEQUATIONS
ax2 + bx + c < 0 , ax2
+ bx + c > 0
| METHODE :
Le calcul de D permet,
dans chaque cas, de savoir immédiatement si le polynôme associé à chacune de ces
inéquations a des racines.
Si oui, factorisez-le et étudiez, dans un tableau, le signe de chacun des
facteurs.
Si non, mettez-le sous forme canonique.
APPLIQUER LES RESULTATS DU COURS paragraphe
II-2 (Nous verrons les deux méthodes)
chercher le signe d’un polynôme P(x) en fonction des valeurs de x (Cf . II - 2 ) |
7 exercices corrigés en détail
| ( 20 )
:Résoudre: - 3x2 + 5x + 8 > 0
|
SOLUTION : Méthode
1 :
|
| ( 21 )Rechercher le signe du polynôme P(x) = x2 +2x + 18 |
SOLUTION ( 21 ):
|
| Résoudre ( 22 )
x² + x - 12 < 0
|
SOLUTION ( 22 ):
|
| Résoudre ( 23 ) : x.(x
+ 1).(x - 3) ³ 0
|
SOLUTION ( 23 ):
|
| ( 24 ) Résolvez, dans l'ensemble des nombres
réels : (I 1) : 2x2 - 3x- 5
£ 0.
|
SOLUTION ( 24 ):Pour (I1),
|
| ( 25 ) Résolvez, dans l'ensemble des nombres
réels : (l2) :
-x2 + x - 4 > 0.
|
SOLUTION ( 25 ):Pour (I2),
|
| ( 26 ) :Résolvez, dans l'ensemble des nombres
réels : (I3) : x2 + x + 1 > 0.
|
SOLUTION 26:Pour (I3),
|
EXERCICE 27:
Factorisation par ( x- a )
| Soit P(x) le polynôme x3
-7x - 6. 1/ Calculez P(-1).
Déduisez-en que :
P(x) = (x+1)(ax2+bx+c),
où a,b,c sont trois nombres qu’il faut déterminer.
2/ Développez le produit ( x+1)(ax2+bx+c)
et déduisez - en que les nombres a,b,c vérifient le système :
a = 1
a + b = 0
b + c = - 7
c = - 6
Montrez-que : P(x) = (x+1)(x2
- x - 6).
3/ Résolvez l’équation x2 -
x - 6 = 0.
Ecrivez alors P(x) sous forme d’un produit de trois facteurs du premier
degré.
METHODE :
Il s’agit là d’une application directe de deux résultats du cours.
Si P(a)=0, alors P(x) est factorisable par x-a.
Deux polynômes sont égaux si, et seulement si, leurs coefficients respectifs
sont égaux. |
Solution |
EXERCICE 28
| Problème de mise en équation du second degré : Un
jardin rectangulaire a un périmètre de 280 m.
On y trace, à l’intérieur, une allée périphérique de 2 m de largeur.
Il reste alors une surface cultivable dont l’aire est 4256 m2.
Calculez les dimensions du jardin.
|
METHODE: Bien que nous cherchions deux
dimensions (la largeur et la longueur du rectangle), la donnée du périmètre permet de
traiter ce problème à l’aide d’une seule inconnue.
En effet, le demi-périmètre du rectangle étant égal à 140 m, si nous
désignons pare x la longueur, exprimée en mètres, de ce rectangle, sa largeur est
égale à 140 - x.
Remarquons, de plus, que ce choix d’inconnue impose
l’inégalité :
x ³140 - x, donc x ³
70.
Solution :
Compte tenu du commentaire ci-contre, il ne reste plus qu’à traduire la
deuxième phrase de l’énoncé.
|
ES
EXERCICE : 29 .
UN PROBLÈME DU SECOND DEGRÉ
Mise en équation.
| Déterminez trois nombres entiers naturels consécutifs dont la
somme des carrés est 2189. METHODE
Plusieurs choix d’inconnue sont possibles.
Pour une raison de symétrie des calculs, le plus judicieux est de choisir pour
inconnue le terme médian ( le second de ces trois nombres).
|
Solution :
|
Exercice : 30 :
Ecrire un trinôme sous forme
canonique
| Ecrivez sous forme canonique le trinôme du second degré f
défini par :
f(x) = - 3x2 + 4x + 2.
METHODE :
Pour écrire sous forme canonique le trinôme ax2
+ bx + c, (a¹0) :
- mettre a en facteur
- utiliser le fait que :
est le début du développement de :
|
Solution :
|
Exercice 31 :
Représenter
graphiquement un trinôme
| Représentez graphiquement la fonction trinôme f définie par : f(x)
= 2x2-11x+12.
|
Solution : Première méthode : par changement de repère
Remarque : |
Exercice 31 :
Deuxième méthode : par étude du sens
de variation.
| On écrit le trinôme sous forme canonique, 
|
|
Exercices 32 à 37 :
| Mettez sous forme d’un
produit de facteurs du premier degré chacun des polynômes suivants :
|
METHODE Pour factoriser des polynômes, plusieurs méthodes sont à votre
disposition (voir fiche méthode).
Il s'agit, dans chaque cas, de trouver la plus
astucieuse... et parfois d'en combiner deux ! |
| a) A(x) = 4x2 - 9 |
SOLUTIONa)
|
| b) B(x) = 3x2 -7x. |
SOLUTION :b)
|
| c) A(x) = 6x2 + 13x - 5
|
SOLUTION :c)
|
| d) D(x) = 2x3 - 18x.
|
SOLUTION :d)
|
| e) E(x) = x3 - 4x2
- x + 4
|
SOLUTION :e)
|
| f) F(x) = 2x3 - 3x2
-11x +6.
|
SOLUTION :f)
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RESOLUTION GRAPHIQUE D’INEQUATIONS
| EXERCICE : Le plan est muni d'un repère
orthonormal (0, i, j)
L'unité de longueur est le centimètre.
1/ Tracez les paraboles (P1) et
(P2) d'équations respectives y = x2 + x - 1 et
2/ Déterminez les coordonnées des points d’intersection de ces 2
paraboles.
3/ Résolvez graphiquement l’inéquation :
(1)
Retrouvez les résultats par le calcul.
|
METHODE :
|
Solution :
| 1/ Parabole (P1).
On obtient (P2) en utilisant la
symétrie d’axe (D2)
d’équation x = 2.
2/
3/ Résolution graphique.
|
EXERCICE 38 :
Un problème économique.
| Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Soit
x la quantité produite en tonnes, x est un nombre réel compris entre 0 et 13.
Le coût de production, exprimé en milliers de francs, est donné par :
p(x) = x3-15x2 + 76x.
L'entreprise vend chaque tonne de sa production 40000 F.
La recette est donc, en milliers de francs, donnée par r(x) = 40x et le
bénéfice, en milliers de francs, est b(x) = r(x) - p(x).
1/ Etude du coût de production
a) Étudiez les variations de la fonction p sur [ 0, 13 ].
b) Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Les unités graphiques sont : 1 cm pour 1 tonne en abscisse, 2 cm pour 100000 F
en ordonnée.
Tracez la courbe (C) représentative de p ainsi que la tangente à (C) au point
d'abscisse 5.
c) Déduisez-en le coût de production de la troisième tonne, et celui de la
douzième tonne.
2/ Étude du bénéfice
a) Sur le graphique précédent, tracez la droite (D) d’équation
y = 40x.
Déterminez graphiquement la position de cette droite par rapport à la courbe
(C).
b) Déduisez-en les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise
effectivement un bénéfice.
3/ Détermination du bénéfice maximal
a) Étudiez les variations de la fonction b sur [0, 13].
b) Déduisez-en la production x0,
qui assure à l'entreprise un bénéfice maximal.
Donnez une valeur approchée de x0
à 10-2 près.
Donnez une valeur arrondie à 1000 F près du bénéfice et du coût de
production correspondants.
|
METHODE
L’énoncé fixe les bornes de l'intervalle dans lequel se trouve la
variable : x E [ 0,13 ]
l faut tenir compte des unités choisies pour exprimer chaque données
concrète en milliers de francs pour p(x), r(x) et b(x), puis pour 1 tonne en
abscisse ; 1 cm pour 50 milliers de francs en ordonnée).
Au 3° on trouvera pour x0 une
valeur irrationnelle.
Or, en « langage courant », on ne peut fournir une telle réponse :
l’énoncé en demande une valeur approchée puis les valeurs arrondies du bénéfice
du coût de production.
Solution :
1/ Etude du coût de production
a)
b) graphe :
c)
2) Etude du bénéfice.
3) Détermination du bénéfice maximal.
a)
b)
c)
b)
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