Probabilités
(44 questions traitées )
- I - RAPPELS DE COURS
INDISPENSABLES :
| 1 ) EVENEMENTS INDEPENDANTS :
On dit de deux événements qu’ils sont indépendants si :
c’est à dire : "l’événement B ne dépend pas de
l’événement A et vis versa.
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Exemple :
Considérons 5 boules dans une urne .
2 boules sont rouges et 3 boules sont vertes.
Elles sont toutes bien sur indiscernables au toucher.
A ) On tire une première boule.
L’évènement A:
la première boule tirée est rouge : p(A) =
On remet la boule dans l’urne.
B) On tire une deuxième boule.
L’évènement B:
la deuxième boule tirée est verte : P(B) =
L’évènement B
la probabilité de tirer une première boule rouge ET une deuxième boule
verte est donc :
|
2 ) PROBABILITES
CONDITIONNELLES :
Si la probabilité d’un événement dépend de la réalisation ou non
d’un autre évènement alors on parlera de probabilité conditionnelle.
Si par exemple la réalisation de l’évènement B conditionne celle
de l’évènement A , on parlera de la probabilité de A sachant B ( ou la
probabilité de A si B est réalisé ).
On notera :
|
Exemple :
Considérons 6 boules dans une urne. Chaque boule est numérotée de 1 à
6.
L’évènement A est :
tirer un multiple de 3 , { 3 ; 6 }
L’évènement B est :
tirer un N° impair { 1 ; 3 ; 5 }
Obtenir un multiple de 3 sachant que le N° tiré est impair est donc :
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3 ) PROBABILITE TOTALE
| PROBABILITES TOTALES Si on connaît les évènements A ; B ; C ; D ;
........;
et les probabilité des évènements :
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| 4 ) VARIABLE ALEATOIRE : INTRODUCTION
Définition:
On appelle variable aléatoire toute application de W dans R
qui à chaque éventualité v de l’univers W fait correspondre un nombre réel.
CONCRETEMENT :
On associe un nombre à un évènement :
Définition :
Définir une variable aléatoire X, c’est associer à chaque évènement
élémentaire { wi } d’une épreuve un
nombre xi.
Si une probabilité a été définie sur l’ensemble des éventualités, p(X=xi)=pi
est la somme des probabilités des évènements { wi
} ayant xi pour image.
L’ensemble des couples (xi, pi) constitue la loi de probabilité ( ou
distribution ) de la variable aléatoire X.
|
Exemple : si on tire l’as de trèfle on
a 3 points ou si la carte tirée est bleue on gagne 6 points (ou on en perd 250 au choix
de celui qui rédige le texte).
On résume le texte par un tableau ; ce qui simplifie considérablement les énoncés
hermétiques à loisir.
Exemple 2 :
Un sac contient 20 jetons colorés de même forme : 9 rouges, 4 verts, 4 jaunes et 3
noirs.
Un joueur prend au hasard un jeton du sac.
Si le jeton est noir, il gagne 5 F, s'il est vert ou jaune, il gagne 3 F et s'il est
rouge, il perd 2 F (- 2 F).
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur, exprimé en franc.
On a alors :
Une loi de probabilité (xi; pi) est un cas particulier de variable statistique,
pondérée par la probabilité. |
| 5 ) LOI DE PROBABILITE : C’est avec
"ça" que l’on va travailler.
On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X , la donnée des
probabilités pi des événements élémentaires X = x.
On note pi = p(X=xi) avec i élément de [ 1 ; n]
EN CLAIR :
On associe une probabilité à chaque événement (comme on a toujours fait
jusqu’à présent) sauf qu’ici on va s’attacher davantage au nombre
associé à l’événement.
ON REGROUPE dans le même tableau pour rendre la chose plus compréhensive.
BIEN SUR ON VOUS DEMANDERA DE CALCULER LES PROBABILITES MAIS TOUTES LES INFORMATIONS
SERONT DONNEES DANS LE TEXTE POUR ça !
Et vous aurait ainsi réalisé une loi de probabilité.
| Evénement |
Roi |
Dame |
Valet |
dix |
| Nombre associé |
- 20 |
+ 1250 |
- 45 |
9,5 |
| Probabilité |
0,2 |
0,6 |
0,1 |
0,1 |
|
EXEMPLE : Variable
aléatoire ; loi de probabilité
Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.
Un « essai » consiste à tirer simultanément 3 boules de l'urne.
Lors d'un essai, un joueur gagne 1 point s'il a obtenu au moins 2 boules rouges.
1. Calculer la probabilité p d'obtenir 1 point au cours d'un essai.
2. Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges obtenues au
cours d'un essai.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Solution :
|
| 6 )FONCTION DE REPARTITION
on appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonction définie
par :
F(x) = P( X < ou égal à x )
EN CLAIR :
(X< ou égal à x ) veut dire :
la variable X prend une valeur inférieure ou égale à x
|
Reprenons l’exemple précédent : Au
lieu de considérer chaque valeur 0 ; 1 ;2 ;3 on considère les intervalles :
]- µ; 0 [
; [0 ; 1 [ ; [1 ; 2[ ; [2 ; 3[ ; [ 3 ; +
µ]
Grâce au tableau du 2) on peut dresser le tableau suivant :
F est définie par :
|
| 7 ) ESPERANCE MATHEMATIQUE ; VARIANCE; ECART TYPE
Espérance,
- L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre :
On le verra dans l’exemple qui suit , mais cette formule signifie simplement que
l’on multiplie la proba trouvée dans chaque case du tableau de la loi de
probabilité par la valeur qui est au dessus
variance
- La variance de la variable aléatoire X est le nombre :
Cette formule nécessite un exemple traité pour être bien mémoriser
( au niveau de l’application bien sur) il est traité plus loin.
L'écart type
- L'écart type est la racine carrée de la variance :
|
Exemple : Considérons le tableau suivant provenant de
l’établissement d’une loi de probabilité.
Pour la variable aléatoire X liée au gain du jeu précédent, son espérance
mathématique s'écrit :
E(X) =
sa variance :
V(X) =
son écart type :
* Lorsque l'espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable. |
PREPARATION INTERROGATION
PREPARATION BAC
L
| Exercice 1: Probabilité simple. Un
enfant joue avec des objets de différentes couleurs, répartis de la façon suivante :
L’enfant prend un objet totalement au hasard.
Il dit que l’objet est rouge s’il est rouge ou s’il contient du rouge;
de même pour les autres couleurs.
On se propose de déterminer les probabilités des évènements suivants :
A = " prendre un objet rouge ";
B =" prendre un objet bleu ";
C = " prendre un objet bleu et rouge ";
D = " prendre un objet bleu ou rouge ";
E = " prendre un objet ni rouge, ni bleu ";
F = " prendre un objet qui n’est pas rouge ".
METHODE :
- Bien analyser le texte et les mots :
... et ... : en même temps l’un et l’autre.
... ou ... : soit uniquement l’un, soit uniquement l’autre, soit les deux;
ni ..., ni ... : contraire de l’un ou l’autre. |
L
| Exercice 2 : Une urne contient des boules
blanches et des boules noires.
L'épreuve consiste à tirer deux boules de l'urne.
Il y a 3 fois plus de chances de tirer deux boules noires que deux blanches.
La probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est double de celle de
deux boules noires.
On se propose de déterminer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.
MÉTHODE
On repère les événements élémentaires de l'épreuve et on traduit le texte et les
équations en utilisant les probabilités :
- La somme des Probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
- Pour l'événement contraire, on a:
car le contraire de « avoir au moins un machin» est « n'avoir aucun machin » ( dont
la probabilité est la plus souvent plus rapide à déterminer).
|
SOLUTION :
|
ES
Exercice 3: Probabilité totale et probabilités
conditionnelles
| Pour produire des pièces métalliques, un atelier utilise trois machines
M1, M2 et M3
plus ou moins récentes. La fabrication est répartie suivant ces machines, mais, selon
leur vétusté, les pièces en sortant présentent parfois des défauts selon le tableau
suivant :
On considère une pièce venant de l'atelier.
On appelle D l'événement « la pièce est défectueuse » et Mi l'événement
«la pièce a été fabriquée par la machine Mi
».
Calculer la probabilité de l'événement D
REMARQUE:
On peut visualiser l'épreuve à l'aide d'un arbre.
Les événements M1, M2 et M3 forment
une partition de l'ensemble des éventualités.
L'événement « la pièce est défectueuse » se décompose en trois événements :
« la pièce est défectueuse et sort de la machine M1
»,
ou «la pièce est défectueuse et sort de la machine M2
»,
ou «la pièce est défectueuse et sort de la machine M3
».
METHODE :
D'une façon générale, on obtient la formule suivante :
|
SOLUTION :
|
Exercice 4: BERNOULLI
| Le jeu du tapis vert consiste à cocher quatre cartes :
un seul pique, un seul cœur, un seul carreau, un seul trèfle sur la table
suivante :
1. Un joueur ayant coché dans les conditions imposées quatre cartes sur cette table,
quelle est la probabilité de chacun des événements suivants qui, seuls, permettent un
gain :
A : « Les quatre cartes cochées ont été tirées »,
B : « Exactement trois des cartes cochées ont été tirées »,
C: « Exactement deux des cartes cochées ont été tirées »,
En déduire que la probabilité pour que le joueur soit gagnant est égale à :
2. Un tirage a lieu en direct à la télévision, chacun des sept jours de la semaine.
On suppose qu' un joueur joue tous les jours une table dans les conditions imposées.
Quelle est la probabilité pour que le joueur soit gagnant en une semaine
a. exactement trois fois ?
b. au moins une fois ? |
| Solution : 1.
B est constitué des 4-listes comportant 3 cartes cochées par le joueur et une
différente.
2. Il faut reconnaître, dans la répétition de la même épreuve, le schéma de
Bernoulli.
a. D’après le schéma de Bernoulli la probabilité que le joueur gagne exactement
3 fois en une semaine est :
b. Soit D l’évènement : " Le joueur gagne au moins une fois en une semaine
".
|
ES
Exercice 5 : Bernoulli.
| Chaque jour où il part au travail en voiture, Marcel emprunte un
trajet sur lequel se trouve sept feux tricolores.
L’expérience lui a montré que l’état d’un feu ( rouge, orange ou
vert ) est indépendant de l’état des feux précédents.
1. Quelles est la probabilité pour que Marcel arrive cinq fois à un feu vert ?
2. Quelles est la probabilité pour que Marcel arrive au moins une fois à un feu vert
?
|
Solution : 1. " Un succès " est de trouver un feu
vert.
2 )
|
Exercice 6 : Bernoulli
| Une urne contient vingt boules, rouges, bleues, vertes ou jaunes.
Les nombres de boules rouges, bleues. vertes ou jaunes sont respectivement
proportionnels à 1, 2. 3 et 4.
On tire au hasard une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne avant de
procéder à un second puis à un troisième tirage dans les mêmes conditions.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu deux boules bleues au cours de ces trois
tirages ?
|
Solution :
|
Exercice 7 : Bernoulli - Variable aléatoire .
| Dans les fêtes foraines, on voit souvent des loteries où le tirage au
sort s'effectue en faisant tourner une roue autour de son axe. Un secteur angulaire de
36° est matérialisé, et on déclare qu'il y a succès quand, à l'arrêt, ce secteur
angulaire est en face d'une flèche fixe.
1. On fait tourner n fois cette roue, et on compte le nombre de succès obtenus.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire ainsi définie.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins trois succès sur dix épreuves ?
3. Exprimer en fonction du nombre n de fois où la roue est lancée une inégalité
exprimant que la probabilité d'obtenir au moins un succès est supérieure à 0,95.
|
Solution :
1.
|
VARIABLE aléatoire
Exercice 8 :
| DUGENOU possède un jeu électronique. Une partie est un duel entre
DUGENOU et un monstre choisi parmi deux au hasard par la machine.
On pose :
A l'événement « DUGENOU combat le monstre M1
»et B l'événement « DUGENOU combat le monstre M2
».
Les deux monstres sont de forces inégales.
1. DUGENOU joue une partie.
Quelle est la probabilité qu'il la gagne ?
2. Sachant qu'il l'a gagnée,
quelle est la probabilité qu'il ait combattu M1?
|
Solution : 1 ) Reconnaître des probabilités conditionnelles
dans les expressions :
SI DUGENOU combat Mi la probabilité pour qu'il gagne est 1/3
2.
|
Exercice 9 : Variable aléatoire.
| Deux élèves E1 et E2 décident de jouer des photos de leurs vedettes
préférées à pile ou face.
Ils en possèdent quatre chacun.
Le jeu s'arrête quand l'un des deux ne peut plus miser.
1. Quel est le nombre minimal de parties qu'ils peuvent jouer?
2. Ils décident de ne jouer que quatre parties.
On appelle X le nombre de photos gagnées par E1
à l'issue de ces quatre parties.
b. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance.
|
SOLUTION : A l’issu de chaque partie, une photo a changé de
main.
1.
2.a.
b. De l’arbre ci-dessus, on tire la loi de probabilité de X :
Donc :
Ce résultat confirme l’idée qu’un tel jeu est équitable.
|
Exercice 10 : Probabilités conditionnelles
| Pierre possède un jeu électronique.
Une partie est un duel entre Pierre et un monstre choisi parmi deux au hasard par la
machine.
On pose :
A l'événement « Pierre combat le monstre M1
»
et B l'événement « Pierre combat le monstre M2
».
Les deux monstres sont de forces inégales.
1. Pierre joue une partie. Quelle est la probabilité qu'il la gagne ?
2. Sachant qu'il l'a gagnée, quelle est la probabilité qu'il ait combattu M1?
|
Solution : 
1 )
2 )
La probabilité que Pierre ait combattu M1,
sachant qu'il a gagné, est p(A/G).
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Exercice 11 : Probabilité conditionnelle
| Pour la fabrication d'un jouet, on utilise ( entre autres ) une
emboutisseuse plastique et un robot peintre. La probabilité pour que
I’emboutisseuse tombe en panne est de 2.10-2
pour le robot de 8.10-2.
Calculer la probabilité pour que les deux machines soient en panne, puis pour toutes
les deux fonctionnent.
METHODE :
- Lorsque l’épreuve présente plusieurs phases ayant chacune plusieurs issues, on
décrit cette épreuve à l’aide d’un arbre *.
Les branches possibles rendent compte de tous les cas possibles.
Pour obtenir la probabilité de la branche " A suivie de B ", on applique :
 
|
SOLUTION :
arbre :
On obtient les quatre cas possibles :
Pour le calcul des probabilités
Arbre de probabilité
|
S
Exercice 12 : Conditionnelles.
| Une maladie atteint 3 % d'une population donnée.
Un test de dépistage donne les résultats suivants:
- chez les individus malades, 95 % de tests sont positifs et 5 % négatifs;
- chez les individus non-malades, 1 % de tests sont positifs et 99 % négatifs.
3. Calculer la probabilité :
a. de ne pas être malade, sachant que le test est positif.
b. d'être malade, sachant que le test est négatif.
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Solution : Expression des hypothèses en termes de
probabilités.
- Utilisation de la définition des probabilités conditionnelles.
> Utilisation de la formule des probabilités totales.
- Interpolation de la question en terme de probabilité conditionnelle ( sachant
que... )
- Utiliser les relations :
b.
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