ÉTUDE DE FONCTIONS ( 2eme partie )

Vous trouverez ici 44 questions types résolues  en détail

au travers de 11 exercices

au titre de

PREPARATION INTERROGATION

 

 

 

 

EXERCICE 1 :     FONCTION HOMOGRAPHIQUE  ( 4 questions )

Soit f la fonction définie sur R - { -2 } par :

1/ Déterminez lim f(x)      et        lim f(x).

                                 x -> - 2                          x -> -2

                                x < -2                             x > -2

Interprétez graphiquement ces résultats.

2/ Déterminez les deux nombres a et b tels que, pour tout x ¹ 2,

Déduisez-en les limites de f en - ¥ et en + ¥.

Interprétez graphiquement ces résultats.

3/ Calculez f'(x), où f' est la fonction dérivée de f.

Déterminez les variations de f sur les intervalles [ -¥, -2 [ et ] -2, +¥ [.

Construisez le tableau de variations de f.

4/ Construisez la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (0, i, j ) ainsi que ses deux asymptotes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE

La fonction f est une fonction homographique, c'est-à-dire le quotient de deux polynômes de degré 1.

La courbe représentative d'une telle fonction est une hyperbole, elle admet toujours deux asymptotes.

Une asymptote verticale d'équation x = bb est la valeur annulant le dénominateur (ici b = -2). Une asymptote horizontale d'équation y = l, où l est la limite de f en - ¥ et en +¥.

Les variations de f doivent être données sur des intervalles. Vous devez donc séparer le cas où x E] -¥, -2 [ et le cas où x E ] -2, +¥[.

SOLUTION  :

1/

 

 

 

2/ Pour tout x ¹ -2,

 

 

 

3/ Dérivée et tableau de variation : Pour tout x ¹ 2,

 

 

 

4 / Courbe représentative

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE 2 :  LECTURE D'UN TABLEAU DE VARIATIONS ( 4 questions )

La fonction numérique f a pour tableau de variations

D'après la lecture de ce tableau, répondez aux questions suivantes

a) Quelles sont les limites de f aux bornes de   ] -1, +¥ [ ?

b) Donnez les intervalles de longueur maximum où f est monotone et précisez le sens de variations de f sur chacun de ces intervalles.

c) La fonction f admet-elle un extremum sur   ] -1, +¥ [ ?

Si oui, quelle est sa valeur?

d) Quel est le signe de f sur ] -1, +¥ [

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE

Un tableau de variations contient beaucoup d'informations sur la fonction et sur sa représentation graphique.

Rappelons qu'une fonction monotone sur un intervalle I est une fonction qui a toujours le même sens de variation sur I.

SOLUTION

a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE 3:   RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION    f(x) = g(x)    ( 5 questions )

Soit f et g les fonctions définies sur l'intervalle      ] -1, +¥ [ par :     f(x) et g(x) = x² - 3.

1/ Construisez les courbes (Cf) et (Cg) représentatives des  fonctions f et g dans un repère orthogonal ( O,i ,j ).

2/ Résolvez graphiquement l'équation f(x) = g(x).

3/ Soit h la fonction définie sur l'intervalle par ] -1,+¥ [ par :

h(x) = x3 + x2 - 3x - 4.

Montrez que les équations f(x)=g(x) ont les mêmes solutions.

4/ Montrez que l'équation h(x) = 0 admet une solution unique a élément de [1, 2].

5/ Calculez h (1, 8) et h (1, 9).

Déduisez-en un encadrement de a d'amplitude 0,1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE

Résoudre graphiquement l'équation f (x) = g (x) consiste à déterminer l'abscisse du (ou des) point(s) d'intersection des deux courbes (Cf) et (Cg).

SOLUTION

 

1) Graphique :

 

 

2/

 

 

 

3/

 

 

 

 

4/ h'(x) =

 

 

 

 

5/ h (a)

 

 

 

 

 

EXERCICE 4 :      FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ ( 3 questions traitées )

1/ Étudiez les variations de la fonction f définie sur R par

f(x) = - x2 + 6x

2/ (C) est la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère (0, i , j ).

Tracez (C) en précisant ses tangentes aux points d'abscisses 0, 3 et 6.

3/ Résolvez graphiquement, puis par le calcul

l'équation - x2 + 6x= x+ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE :

On sait étudier une fonction polynôme du second degré sans avoir recours à sa dérivée. Cependant l'utilisation de la dérivée permet d'obtenir les variations de la fonction de manière souvent plus simple.

Elle permet par ailleurs de Construire les tangentes à la courbe représentative.

SOLUTION :

 

 

 

 

 

 

 

Étudions le comportement de f en + ¥.

 

 

 

 

Construisons le tableau de variation de f.

 

 

 

 

 

2/

 

 

 

 

Graphique :

 

 

 

 

3/

a) On a construit la droite (D) d'équation y = x+ 1 sur le graphique précédent.

 

 

 

 

b) L'équation -x2 + 6x=x+ 1 équivaut

 

 

 

 

Le calcul confirme les résultats obtenus graphiquement.

 

 

 

EXERCICE 5     Etude des fonctions f et g qui  x associent :

                                   et              ( 2 questions )

1/ Soit la fonction f définie sur ]0, 10] par :

Étudiez les variations de f et construisez sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère ( 0, i, j ).

2/ Même question pour la fonction g définie sur [0, 11] par :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE :

Dans l'étude des fonctions, on a tendance à utiliser de manière trop systématique la dérivée.

Dans certains cas, ce n'est pas la méthode la plus simple (question 1/ de cet exercice).

Dans d'autres cas, cette méthode n'est pas utilisable dans l'état actuel de vos connaissances pour la question 2/, on ne saura calculer g'(x) qu'après l'étude du programme optionnel.

SOLUTION I :

f est la somme des fonctions :

          ;                ;             ,

 

 

Tableau :

 

 

 

 

Graphique :

 

 

 

 

 

EXERCICE 6 : Etude de la fonction g qui à x associe g(x) défini  par :

1/ Soit la fonction g définie sur ] 0, 11] par :

Étudiez les variations de g et construisez sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère ( 0, i, j )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUTION II : g est obtenue à partir de la fonction x -> 2x + 3,

suivie de la fonction :    , toutes les deux strictement croissantes.

 

tableau de variation de g.

 

Un tableau de valeurs

 

 

Graphe :

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICE 7 :     ÉTUDE D’UNE FONCTION RATIONNELLE  ( 5 questions )

Soit la fonction f définie sur R* par :

et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (0, i, j ).

Déterminez les nombres réels a, b et c tels que, pour c tout x de R*:

f(x) = ax + b + c/x

2/ Étudiez le comportement de f au voisinage de 0 et déterminez les asymptotes de la courbe (C).

3/ a) Étudiez les variations de f.

b) Construisez (C) et ses asymptotes.

4/ a) Résolvez graphiquement et par le calcul l'équation

f(x) = 4.

b) Résolvez graphiquement l'inéquation f(x) ³ 4.

5/ Donnez, en fonction de l, le nombre de solutions de l'équation f(x) = l.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE

Dans l'étude d'une fonction rationnelle, l'écriture sous la forme :

f (x) = ax + b + c/x est souvent utilisée pour déterminer les asymptotes et donc les limites.

Elle permet aussi de calculer plus simplement la fonction dérivée.

La représentation graphique de la fonction f permet de résoudre des équations ou des inéquations du type f (x) = l ou f (x) ³ l.

SOLUTION :

1/

 

 

2/

 

 

 

 

 

3/ a) f(x) = x - 1 + 4/x.

f est dérivable sur R*, et

 

 

signe de f' :

 

 

 

tableau de variation de f.

 

 

 

 

b) La courbe (C) et ses asymptotes sont représentées ci-contre.

 

 

4/ a) Résolution graphique. Pour résoudre graphiquement l'équation :  f(x) = 4,

 

 

 

 

Résolution par le calcul. L'équation f(x)=4 s'écrit :

Représentation graphique :

 

 

 

 

 

b) f(x) ³ 4 si et seulement si

 

 

 

5/ En considérant les droites d'équation y= l,

 

 

 

 

 

 

UNE AUTRE FONCTION RATIONNELLE.  ( 6 QUESTIONS )

 

EXERCICE 8 :

Soit la fonction f définie sur R* par :

et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (0, i, j)

1/ Déterminez les nombres réels a, b, c tels que, pour tout x de R* :

2/ Etudiez le comportement de f au voisinage de 0 et déterminez les asymptotes de la courbe (C).

3/  Etudiez les variations de f.

4/  Construisez (C) et ses asymptotes.

5/  Montrez que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique a.

6/ Donnez un encadrement de a à 10- 2 près

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

METHODE :

La différence essentielle entre cette fonction et la précédente provient du terme qui remplace.

Alors que dans la fonction précédente, les limites en 0 pour x positif et pour x négatif étaient différentes, elles sont identiques pour cette fonction.

La représentation graphique de la fonction f permet de résoudre l'équation f (x) = 0.

SOLUTION :

1/. En détaillant chaque terme du numérateur ,et en le divisant par le dénominateur , on obtient :

 

2/ Etude en 0. On sait que

 

D'où

 

 

Asymptote oblique.    

 

 

La droite d'équation y = - x + 1 est donc

 

 

3/

 

 

tableau de signes

 

 

On reporte les résultats obtenus dans le tableau de variation de f.

 

 

 

f admet un maximum local, égal à - 2 pour x = 2.

4)

La courbe (C) et ses asymptotes sont représentées ci-dessous.

 

 

 

5/ Sur ] 0, + ¥ [ le maximum de f(x)

 

 

 

6/ Comme

 

 

S

METHODE GENERALE  :   ETUDE DE FONCTION

PLAN D’ETUDE :

1/ Préciser l’ensemble de définition D de la fonction lorqu’il n’est pas donné par l’énoncé.

. Vérifier éventuellement si la fonction est paire ou impaire, ou périodique surtout lorsque la réponse à cette question paraît être positive et facile à obtenir ; dans ce cas :

- réduire l’intervalle d’étude,

- préciser les éléments de symétrie de la courbe.

2. Etudier le sens de variation de la fonction. Préciser les maximums et les minimums éventuels.

3. Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Préciser éventuellement les asymptotes.

4. Consigner tous les résultats précédents dans le tableau de variation de la fonction. ( Ce tableau peut aussi être utile pour déceler rapidement une erreur grossière ).

 

Pour tracer la courbe représentative C d’une fonction, il peut être utile de :

- Chercher les points d’intersection de C avec les axes du repère ;

- Placer quelques points de C en calculant leurs coordonnées ;

- Placer des tangentes ;

- Mettre en évidence des éléments de symétrie

 

 

 

 

 

 

EXEMPLE : Exercice 9   Une fonction trinômes ( 4 questions )

Exercice 9 :

f : x -> x2 - x + 1

1. Ensemble de définition : f est définie sur R

2. Sens de variation

3. Limites aux bornes de Df.

4/ Tableau et courbe représentative.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUTION :

1. f est un polynôme

 

2. Pour tout réel x,

 

 

3. Limites aux bornes de Df.

.Limite en + l'infini

f est un polynôme

 

 

 

 

 

Limite en moins l'infini.

De façon analogue,

 

 

 

 

4/ Tableau et courbe représentative.

 

 

 

 

 

REMARQUES :

1.

 

2.

 

 

POLYNOME de degré 3 ( 6 questions )

EXERCICE 10 :

Etude de la fonction qui à x associe :

f(x) = -x3 + 6x2 - 9x +4

1. Ensemble de définition

f est définie sur R.

2. Sens de variation

3/. Etude des limites aux bornes de Df.

4. Tableau de variation :

5/ Tracé de la courbe C.

6. Tangentes horizontales ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUTION :

1.

 

 

2. Etudier le signe de f’(x) revient à

 

 

 

 

On en déduit aussitôt le sens de variation de f.

 

 

3/. Etude des limites aux bornes de Df.

 

 

 

 

4. Tableau de variation :

 

 

 

5/ Tracé de la courbe C.

On améliore le tracé de la courbe représentative C en calculant les coordonnées de quelques points (x ; f(x)).

 

 

 

 

 

6. Tangentes horizontales

 

REMARQUES:

1.

2.

 

 

 

UNE FONCTION RATIONNELLE ( 5 questions )

 

EXERCICE 11:   Etudier la fonction f définie par :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUTION :

1.  Ensemble de définition

 

2. Sens de variation

 

3. Limites aux bornes de Df.

Limite en plus l'infini.

 

- Limite en moins l'infini.

 

- Limite à droite en - 1/2 .

 

 

4. Tableau.

 

 

5.Tracé de la courbe C.

 

 

 

REMARQUE: