ÉTUDE
DE FONCTIONS ( 2eme partie )
Vous trouverez ici 44
questions types résolues en détail
au travers de 11
exercices
au titre de
PREPARATION INTERROGATION
EXERCICE 1 :
FONCTION HOMOGRAPHIQUE ( 4 questions )
Soit f la fonction définie sur R - { -2 } par :
1/ Déterminez lim f(x) et
lim f(x).
x -> - 2
x -> -2
x < -2
x > -2
Interprétez graphiquement ces résultats.
2/ Déterminez les deux nombres a et b tels que, pour tout x ¹ 2,
Déduisez-en les limites de f en - ¥ et en + ¥.
Interprétez graphiquement ces résultats.
3/ Calculez f'(x), où f' est la fonction dérivée de f.
Déterminez les variations de f sur les intervalles [ -¥,
-2 [ et ] -2, +¥ [.
Construisez le tableau de variations de f.
4/ Construisez la courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthogonal (0, i, j ) ainsi que ses deux asymptotes.
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METHODE La fonction f est une fonction
homographique, c'est-à-dire le quotient de deux polynômes de degré 1.
La courbe représentative d'une telle fonction est une hyperbole, elle admet
toujours deux asymptotes.
Une asymptote verticale d'équation x = b où b est la valeur annulant le dénominateur (ici b
= -2). Une asymptote horizontale d'équation y = l, où l est la limite de f en - ¥ et en +¥.
Les variations de f doivent être données sur des intervalles. Vous devez donc
séparer le cas où x E] -¥, -2 [ et le cas où x E ] -2, +¥[.
SOLUTION :
1/
2/ Pour tout x ¹ -2,
3/ Dérivée et tableau de variation : Pour
tout x ¹ 2,
4 / Courbe représentative
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EXERCICE 2 : LECTURE D'UN TABLEAU DE VARIATIONS ( 4 questions )
La fonction numérique f a pour tableau de variations
D'après la lecture de ce tableau, répondez aux questions
suivantes
a) Quelles sont les limites de f aux bornes de ] -1, +¥ [ ?
b) Donnez les intervalles de longueur maximum où f est monotone
et précisez le sens de variations de f sur chacun de ces intervalles.
c) La fonction f admet-elle un extremum sur ] -1, +¥ [ ?
Si oui, quelle est sa valeur?
d) Quel est le signe de f sur ] -1, +¥
[
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METHODE
Un tableau de variations contient beaucoup d'informations sur la fonction et
sur sa représentation graphique.
Rappelons qu'une fonction monotone sur un intervalle I est une fonction qui a
toujours le même sens de variation sur I.
SOLUTION
a)
b)
c)
d)
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EXERCICE
3: RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION
f(x) = g(x) ( 5 questions )
Soit f et g les fonctions définies sur l'intervalle
] -1, +¥ [ par :
f(x) et g(x) = x² - 3. 1/ Construisez les courbes
(Cf) et (Cg)
représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal ( O,i ,j ).
2/ Résolvez graphiquement l'équation f(x) = g(x).
3/ Soit h la fonction définie sur l'intervalle par ] -1,+¥
[ par :
h(x) = x3 + x2 - 3x - 4.
Montrez que les équations f(x)=g(x) ont les mêmes solutions.
4/ Montrez que l'équation h(x) = 0 admet une solution unique a élément de [1, 2].
5/ Calculez h (1, 8) et h (1, 9).
Déduisez-en un encadrement de a d'amplitude 0,1.
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METHODE Résoudre graphiquement
l'équation f (x) = g (x) consiste à déterminer l'abscisse du (ou des) point(s)
d'intersection des deux courbes (Cf) et (Cg).
SOLUTION
1) Graphique :
2/
3/
4/ h'(x) =
5/ h (a)
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EXERCICE 4 :
FONCTION POLYNÔME DU SECOND
DEGRÉ ( 3 questions traitées )
1/ Étudiez les variations de la fonction f définie sur R par f(x)
= - x2 + 6x
2/ (C) est la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère
(0, i , j ).
Tracez (C) en précisant ses tangentes aux points d'abscisses 0, 3 et 6.
3/ Résolvez graphiquement, puis par le calcul
l'équation - x2 + 6x= x+ 1.
|
METHODE : On sait étudier une fonction
polynôme du second degré sans avoir recours à sa dérivée. Cependant l'utilisation de
la dérivée permet d'obtenir les variations de la fonction de manière souvent plus
simple.
Elle permet par ailleurs de Construire les tangentes à la courbe
représentative.
SOLUTION :
Étudions le comportement de f en + ¥.
Construisons le tableau de variation de f.
2/
Graphique :
3/
a) On a construit la droite (D) d'équation y = x+ 1 sur le graphique
précédent.
b) L'équation -x2 + 6x=x+ 1
équivaut
Le calcul confirme les résultats obtenus graphiquement. |
EXERCICE
5 Etude des fonctions f et g
qui x associent :
et ( 2 questions )
1/ Soit la fonction f définie sur ]0, 10] par :
Étudiez les variations de f et construisez sa courbe représentative dans un
plan muni d'un repère ( 0, i, j ).
2/ Même question pour la fonction g définie sur [0, 11] par :
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METHODE : Dans l'étude des fonctions,
on a tendance à utiliser de manière trop systématique la dérivée.
Dans certains cas, ce n'est pas la méthode la plus simple (question 1/ de cet
exercice).
Dans d'autres cas, cette méthode n'est pas utilisable dans l'état actuel de
vos connaissances pour la question 2/, on ne saura calculer g'(x) qu'après l'étude du
programme optionnel.
SOLUTION I :
f est la somme des fonctions :
;
;
,
Tableau :
Graphique :
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EXERCICE 6 : Etude
de la fonction g qui à x associe g(x) défini par :
1/ Soit la fonction g définie sur ] 0, 11] par :
Étudiez les variations de g et construisez sa courbe représentative dans un
plan muni d'un repère ( 0, i, j )
|
SOLUTION II : g est obtenue à partir de la
fonction x -> 2x + 3,
suivie de la fonction : , toutes les deux strictement croissantes.
tableau de variation de g.
Un tableau de valeurs
Graphe :
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EXERCICE 7 :
ÉTUDE DUNE FONCTION
RATIONNELLE ( 5 questions )
Soit la fonction f définie sur R* par :
et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (0, i, j
).
Déterminez les nombres réels a, b et c tels que, pour c tout x de R*:
f(x) = ax + b + c/x
2/ Étudiez le comportement de f au voisinage de 0 et déterminez les
asymptotes de la courbe (C).
3/ a) Étudiez les variations de f.
b) Construisez (C) et ses asymptotes.
4/ a) Résolvez graphiquement et par le calcul l'équation
f(x) = 4.
b) Résolvez graphiquement l'inéquation f(x) ³ 4.
5/ Donnez, en fonction de l, le nombre de solutions de l'équation f(x) = l.
|
METHODE Dans l'étude d'une fonction
rationnelle, l'écriture sous la forme :
f (x) = ax + b + c/x est souvent utilisée pour déterminer les asymptotes et
donc les limites.
Elle permet aussi de calculer plus simplement la fonction dérivée.
La représentation graphique de la fonction f permet de résoudre des
équations ou des inéquations du type f (x) = l ou f (x) ³ l.
SOLUTION :
1/
2/
3/ a) f(x) = x - 1 + 4/x.
f est dérivable sur R*, et
signe de f' :
tableau de variation de f.
b) La courbe (C) et ses asymptotes sont représentées ci-contre.
4/ a) Résolution graphique. Pour résoudre graphiquement
l'équation : f(x) = 4,
Résolution par le calcul. L'équation f(x)=4 s'écrit : |
Représentation graphique :
b) f(x) ³ 4 si et
seulement si
5/ En considérant les droites d'équation y= l,
|
UNE AUTRE FONCTION RATIONNELLE.
(
6 QUESTIONS )
EXERCICE 8 : Soit
la fonction f définie sur R* par :
et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (0, i,
j)
1/ Déterminez les nombres réels a, b, c tels que, pour tout x de R* :
2/ Etudiez le comportement de f au voisinage de 0 et déterminez les asymptotes
de la courbe (C).
3/ Etudiez les variations de f.
4/ Construisez (C) et ses asymptotes.
5/ Montrez que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique a.
6/ Donnez un encadrement de a à 10- 2 près
|
METHODE : La différence essentielle entre
cette fonction et la précédente provient du terme qui remplace.
Alors que dans la fonction précédente, les limites en 0 pour x positif et
pour x négatif étaient différentes, elles sont identiques pour cette fonction.
La représentation graphique de la fonction f permet de résoudre l'équation f
(x) = 0.
SOLUTION :
1/. En détaillant chaque terme du numérateur ,et en le divisant par le
dénominateur , on obtient :
2/ Etude en 0. On sait que
D'où
Asymptote oblique.
La droite d'équation y = - x + 1 est donc
3/
tableau de signes
On reporte les résultats obtenus dans le tableau de variation de
f.
f admet un maximum local, égal à - 2 pour x = 2.
4)
La courbe (C) et ses asymptotes sont représentées ci-dessous.
5/ Sur ] 0, + ¥ [ le
maximum de f(x)
6/ Comme |
S
METHODE GENERALE :
ETUDE DE FONCTION
PLAN DETUDE :
1/ Préciser lensemble de définition D de la fonction lorquil
nest pas donné par lénoncé.
. Vérifier éventuellement si la fonction est paire ou impaire, ou périodique
surtout lorsque la réponse à cette question paraît être positive et facile à
obtenir ; dans ce cas :
- réduire lintervalle détude,
- préciser les éléments de symétrie de la courbe.
2. Etudier le sens de variation de la fonction. Préciser les maximums et les
minimums éventuels.
3. Etudier les limites aux bornes de lensemble de définition. Préciser
éventuellement les asymptotes.
4. Consigner tous les résultats précédents dans le tableau de variation de
la fonction. ( Ce tableau peut aussi être utile pour déceler rapidement une erreur
grossière ). |
Pour tracer la courbe représentative C dune
fonction, il peut être utile de :
- Chercher les points dintersection de C avec les axes du repère ;
- Placer quelques points de C en calculant leurs coordonnées ;
- Placer des tangentes ;
- Mettre en évidence des éléments de symétrie
|
EXEMPLE : Exercice 9
Une fonction trinômes ( 4 questions )
Exercice 9 : f : x -> x2
- x + 1
1. Ensemble de définition : f est définie sur R
2. Sens de variation
3. Limites aux bornes de Df.
4/ Tableau et courbe représentative.
|
SOLUTION : 1. f est un
polynôme
2. Pour tout réel x,
3. Limites aux bornes de Df.
.Limite en + l'infini
f est un polynôme
Limite en moins l'infini.
De façon analogue,
4/ Tableau et courbe représentative.
REMARQUES :
1.
2.
|
POLYNOME de degré 3 ( 6 questions )
EXERCICE 10 : Etude de la fonction qui
à x associe :
f(x) = -x3 + 6x2 - 9x +4
1. Ensemble de définition
f est définie sur R.
2. Sens de variation
3/. Etude des limites aux bornes de Df.
4. Tableau de variation :
5/ Tracé de la courbe C.
6. Tangentes horizontales ?
|
SOLUTION : 1.
2. Etudier le signe de f(x) revient à
On en déduit aussitôt le sens de variation de f.
3/. Etude des limites aux bornes de Df.
4. Tableau de variation :
5/ Tracé de la courbe C.
On améliore le tracé de la courbe représentative C en calculant les coordonnées de quelques points (x ;
f(x)).
6. Tangentes horizontales
REMARQUES:
1.
2. |
UNE FONCTION RATIONNELLE ( 5 questions
)
EXERCICE 11: Etudier
la fonction f définie par :
|
SOLUTION : 1. Ensemble de
définition
2. Sens de variation
3. Limites aux bornes de Df.
Limite en plus l'infini.
- Limite en moins l'infini.
- Limite à droite en - 1/2 .
4. Tableau.
5.Tracé de la courbe C.
REMARQUE: |
|