CHAPITRE 6

Dés la 1 ère

DÉFINITIONS
- SUITE DÉFINIE EXPLICITEMENT:
- VARIATION D’UNE SUITE :
- SUITES ARITHMÉTIQUES
- Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique u_n :
- SUITES GÉOMÉTRIQUES:
- Somme des termes d’une suite géométrique :
- MOYENNES : Moyenne arithmétiques ; Moyenne arithmétique pondérée.
Moyenne géométrique.
- LIMITE D’UNE SUITE : suites de référence . Somme et multiplication.

MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS
- POUR ÉTUDIER LE SENS DE VARIATION D’UNE SUITE
- POUR FAIRE UNE ÉTUDE GRAPHIQUE D’UNE SUITE:
- POUR DÉTERMINER SI UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE
- POUR TROUVER UN OU PLUSIEURS TERME D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE.
- POUR TROUVER UN OU PLUSIEURS TERME D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE.
- POUR TROUVER LA LIMITE D’UNE SUITE :

EXEMPLES :
- Calcul de termes:
- Calcul de termes de suites définie par récurrente.
- ÉTUDE DU SENS DE VARIATION D’UNE SUITE
- DÉTERMINER SI LES SUITES DÉFINIES CI-DESSOUS SONT ARITHMÉTIQUES OU GÉOMÉTRIQUES OU NI L’UN NI L’AUTRE.
- CALCULER UN TERME D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE :
- CALCULER UN TERME D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE :
- ÉTUDE GÉNÉRALE D’UNE SUITE:

Dés la terminale

- Problème ( suite arithmétique ; somme des n premiers termes )( Méthode ; exercice corrigé )
- suite : U_n+1 = 0,8 U_n + 6 géométrique ?(exercice corrigé )
- Problème ( suite géométrique.)(exercice corrigé )
- Suite . Sens de variation :U_n = 2ⁿ + n.( Méthode ; exercice corrigé )
- Démonstration par récurrence.( Méthode ; exercice corrigé )
- Problème ( démonstration par récurrence ).( Méthode ; exercice corrigé )
- utiliser un encadrement pour calculer la limite d’une suite ( Méthode ; exercice corrigé
- limite de suites.( Méthode ; exercice corrigé )
- Suite Accroissements finis, Dem. par récurrence.( Méthode ; exercice corrigé )
- Démonstrations par récurrence.( Méthode ; exercice corrigé )

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DÉFINITIONS

Une suite numérique est ...

SUITE DÉFINIE EXPLICITEMENT:

...

VARIATION D’UNE SUITE :
Soit u une suite .

...

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SUITES ARITHMÉTIQUES
...

Somme des n premier termes d’une suite arithmétique u_n :
...

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SUITES GÉOMÉTRIQUES:
...

Somme des termes d’une suite géométrique :
...

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MOYENNES

1) Moyenne arithmétiques:
...

Moyenne arithmétique pondérée :
...

Moyenne géométrique:

...

LIMITE D’UNE SUITE :

Suites de référence :
...

Somme et multiplication :
...

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COMPARAISON DE SUITES :

u_n et v_n étant

...

u_n , v_net w_n étant trois suites ayant

...

II - MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS

POUR ÉTUDIER LE SENS DE VARIATION D’UNE SUITE

Selon l’expression de la suite , on utilisera une des méthodes suivante:

1)
...

2 )
...

3)

...

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POUR FAIRE UNE ÉTUDE GRAPHIQUE D’UNE SUITE:

...

Attention

...

POUR DÉTERMINER SI UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

...

POUR DÉTERMINER SI UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE:

...

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POUR TROUVER UN OU PLUSIEURS TERME D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE.
...

POUR TROUVER UN OU PLUSIEURS TERME D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE.
...

POUR TROUVER LA LIMITE D’UNE SUITE :
1)

...

2)

...
3)
...

Calcul de termes: soient u_n , v_n , w_n , trois suites définies pour tout n élément de n.

Calculer les trois premiers termes de la suite.
u_n = (n + 1) / (n + 2)
étude de la suite u_n:
u₁ =

u₂ =

u₃ =

Calculer les trois premiers termes de la suite.
v_n = (3ⁿ) / ( n + 5 )
étude de la suite v_n:
v₁ =

v₂ =

v₃ =

Calculer les trois premiers termes de la suite.
w_n = (n) ( n + 5)
étude de la suite w_{nw₁ =
w₂ =
w₃ =}

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Calcul de termes de suites définie par récurrente.
soient u_n , v_n , w_n , trois suites définies pour tout n élément de n.

Calculer les trois premiers termes de la suite.
1) u_{n +1} = u_n+ 5 et u₀ = 2

Solution :
1) n = 0

n = 1

n = 2

Calculer les trois premiers termes de la suite.
2) v_{n + 1}= 3.v_n et v₀ = - 1

Solution :

2) n = 0

n = 1

n = 2

Calculer le premier termes de la suite.
3) w_n ₊₁ = (v_n + 1) / (v_n +2) et w₀ = 1

Solution :

3) n = 0

n = 1

ÉTUDE DU SENS DE VARIATION D’UNE SUITE

Étudier le sens de variation des suites u_n ; v_n ; w_n ; définies :

u_n = n + 2 ; v_n = 3.n ; w_n = n² + 2n + 6

1) suite u_n:
...

2) suite v_n :

...

3) suite w_n:

...

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DÉTERMINER SI LES SUITES DÉFINIES CI-DESSOUS SONT ARITHMÉTIQUES OU GÉOMÉTRIQUES OU NI L’UN NI L’AUTRE.

1) u_n = 4 + 5n

1) u_n = 4 + 5n :
...

2) u_n =3ⁿ

2) u_n =3ⁿ
^...

3) u_n = (n - 1) / 2 ; 4)

3) u_n = (n - 1) / 2
...

4) u_n = 5.10ⁿ
4) u_n = 5.10ⁿ
^...

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CALCULER UN TERME D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE :

A) les suites définies ci-dessous sont arithmétiques de raison r.
1) on donne u₀ = 3 , et r = 2 calculer u₁₀

2) on donne u₅ = 6 , et r = 3 calculer u₁

3) on donne u₃ = 12 et u₈ = 0 calculer r , u₀, u₁₁.

...

...

3)

...

B) on donne u une suite arithmétique telle que:

u₃+ u₄ + u₅ = 111 , et u₈ = 69 ,

calculer u_6.

Solution :

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CALCULER UN TERME D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE

Les suites définies ci dessous sont géométriques de raison q.
1) u₀ = 24 et q = ½ calculer u₄

2) u₃= 2et u₇ = 18. calculer u₀ et u₁₄

3) u₂ = 18 et u₃ = 54 calculer u₀ et q

1)
u₀ = 24 et q = ½

...

...

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ÉTUDE GÉNÉRALE D’UNE SUITE:

On donne la suite u définie par u₀ = 1/2
et u_{n +1} = u² _n- u_n + 1.
1) calculer u₁ , u₂ , u_3.

2) étudier les variations de cette suite.

Solution :

1) u₁ =

u₂ =

u₃ =

2) calcul de u_{n + 1} - u_n

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Dés la terminale :

Problème (suite arithmétique )

Pour rembourser une somme de 31 200 F qu'il a empruntée à un ami, Monsieur Toff désire lui payer en n mensualités telles que le montant de ces mensualités suit une suite arithmétique ( U_n ).

La première mensualité est de 1 500 F ( U₁ = 1 500) et la dernière est de 3 700 F (U_n = 3 700).

Déterminer le nombre de mensualités et la raison de la suite arithmétique.

MÉTHODE

Pour obtenir la raison a d'une suite arithmétique, connaissant la somme de n termes consécutifs et les termes U₁ et U_n, on utilise les formules :

U_n = U_P+ (n- p)a, avec p = 1, c’est-à-dire
U_n = U₁+ ( n-1 )a

et

SOLUTION :

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Suite : U_n+1 = 0,8 U_n + 6 géométrique ?

On considère la suite ( U_n ) définie par U₀ = 40 et, pour tout entier naturel :
U_n+1 = 0,8 U_n + 6.

On pose V_n = U_n - 30.

a) Montrer que la suite ( V_n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer alors V_n en fonction de n; en déduire U_n en fonction de n et la limite de la suite ( U_n ).

MÉTHODE

Pour prouver qu'une suite ( V_n ) est géométrique, on montre que le quotient

Ce nombre est alors la raison b de la suite et le terme général s'écrit :

V_n = V₀ X bⁿ
Solution :

a)

b)

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Problème ( suite géométrique.)

En 1990, chaque livre de collection " Histoire " coûte 100 francs.
On suppose que ce prix augmentera régulièrement de 8% chaque année.

On note P_n le prix d’un livre en l’an ( 1990 + n ).

1. Montrer que la suite ( P_n ) est géométrique.

Quel est son sens de variation ?

Exprimer P_n en fonction de n.

2. Une personne dispose de 1000 F en 1990.

Soit Q_n le nombre de livres de la collection " Aventure " qu elle peut s'offrir en 1990 + n.

Calculer Q1 et Q2. A partir de quelle année ne pourra-t-elle plus s’offrir de livres de la collection " Histoire" ?

Solution :
1.

2.

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Suite géométrique

On considère la suite ( U_n ) _{n E N} définie par :
U₀= 2, U₁ = 3 et, pour tout entier n ³ 2 , on a:

a. Soit E l'ensemble des suites réelles ( V_n )_{n E N} définies sur telles que : pour tout entier n ³ 2 , on a:

Montrer que E contient deux suites géométriques de premier terme 1 et de raisons non nulles.

Soit q₁ et q₂ les raisons de ces deux suites avec q₁ < q₂.

b. Monter qu’il existe un couple ( a,b ) de réels tels que :

En déduire la limite de la suite ( U_n ) _{n E N}.

Solution :

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Suite . Sens de variation

1 Déterminer le sens de variation de la suite dérinie par U_n = 2ⁿ + n.
2 Déterminer le sens de variation de la suite définie par :

3 Déterminer le sens de variation de la suite telle que U_n = ln ( n² - 1 ), définie à partir du rang 2.

MÉTHODE :

A- Dans le cas où U_n est une somme, On étudie le signe de U_n+1- U_n.

B- Dans le cas où U_n est un quotient strictement positif pour tout n, on

C. Dans le cas où , pour tout entier n ³ p, on a
U_n = f(n), le sens de variation de la suite ( U_n ) est le même que celui de la fonction associée f sur l'intervalle [ p, +¥ [.

Solution :
1)

2)

3 )

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Démonstration par récurrence.

Démontrer par récurrence que, si U_o = 0,

alors tous les termes de la suite sont compris

dans l'intervalle [ 0; 2 ].

MÉTHODE :

Pour montrer qu'une propriété dépendant d'un entier n est vraie pour tout entier n, on procède en deux étapes :

- on montre que la propriété est vérifiée au rang initial (n = 0);

- on montre que la propriété est héréditaire, c'est-à-dire on suppose que la propriété est vraie au rang p et on démontre qu’ elle est alors vraie au rang p + 1.

Alors on peut conclure que la propriété est vraie pour tout entier n.

SOLUTION :

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Problème ( démonstration par récurrence ).

A chaque période, un prix subit une diminution de 30 % par rapport au prix de la période précédente et une augmentation de 30 F. Le prix de base ( n = 0 ) est U₀ 140 F.
Si U_n est le prix à la période n, justifier que
U_n+1 = 0,7U_n + 30.

Démontrer par récurrence que, pour tout n de N, U_n = 40 * 0,7ⁿ +100.

En déduire la limite de la suite des prix quand
n-> +¥.

MÉTHODE

Pour démontrer qu'une formule (ou une propriété) dépendant d'un entier n est vraie pour tout entier n, on procède en deux étapes :

- on montre que la formule est vérifiée pour le premier rang (n = 0)

- on montre que la formule est héréditaire, c'est-à-dire :

on suppose que la formule est vraie au rang p et

on démontre qu’elle est alors vraie au rang p + 1.

Alors on peut conclure que la formule est vraie pour tout entier n.

SOLUTION :

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Comment utiliser un encadrement pour calculer la limite d’une suite ?

Exercice : Suite . Calcul de limite par encadrement.

MÉTHODE :
- Minorer et majorer la suite (U_n) dont on cherche la limite par deux suites plus simples ayant la même limite.

- Utiliser le théorème des gendarmes pour conclure.

Exercice :

Déterminer la limite de chacune des suites (U_n) et (V_n) définies sur N* par :

Solution

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limite de suites.

MÉTHODE
- Les propriétés de croissances comparées permettent de lever des indéterminations dans le calcul de limites de suites.

Exercice :

Calculer la limite de chacune des suites ( U_n ) et ( V_n )

définies sur N* par :

a. U_n = n.ln n -2n.

SOLUTION :

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Suite Accroissements finis, Dem. par récurrence.

MÉTHODE
- Déterminer un intervalle I contenant U₀ et l tel que f(l) C 1 et pour tout x de 1, l f'(x )l £ k < 1.

| U_n+1 - l | £ k | U_n - l |

- Démontrer par récurrence que | U_n+1 - l | £ kⁿ | U₀ - l |

- En déduire la limite de (U_n) en +¥.

EXERCICE :

Soit la suite (U_n) définie sur N par :

U₀= 1

et

Démontrer que cette suite converge vers 0.

Solution :

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Démonstrations par récurrence

MÉTHODE :
- Pour démontrer qu'une propriété (P) qui dépend d'un entier naturel n, est vraie pour tout entier naturel à partir d'un certain rang n₀, on procède en deux temps:

- Initialisation: prouver que (P_n0) est vraie.

- Transmission: avec l'hypothèse de récurrence «( P_P ) est vraie pour p quelconque supérieur ou égal à n₀ », démontrer que ( P_P+1 ) est vraie.

Exercice :

Soit la suite ( U_n ) définie par :

U₀ = 0 et

a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a: U_n ³ 2.

b. Prouver que la suite ( U_n ) est croissante.

Solution

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1) u_n = 4 + 5n	1) u_n = 4 + 5n : ...
2) u_n =3ⁿ	2) u_n =3ⁿ ^...
3) u_n = (n - 1) / 2 ; 4)	3) u_n = (n - 1) / 2 ...
4) u_n = 5.10ⁿ	4) u_n = 5.10ⁿ ^...