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Dés la 5eme	Notion d’équation : représentation, exemples
dés la 4ème	Résoudre une équation : définition MÉTHODE - RÈGLES DE TRANSPOSITION Résoudre une équation du type a + x = b , ou x est l’inconnue : Résoudre une équation du type a ´ x = b ou x est l’inconnue : Résoudre une équation d’inconnue x du type ax + b = c
dés la 3ème	ÉQUATION PRODUIT: règle , exemples. Résoudre une équation du premier degré, sans fraction. Méthode , exemple. Résoudre une équation du premier degré avec fraction. Méthode , exemple. Équation du type x² = a : Méthode , exemple. Résoudre un problème à l’aide d’une équation: exemple ÉQUATION DE DEGRÉS SUPÉRIEUR A 1 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS PAR UNE MISE EN FACTEUR COMMUN RÉSOLUTION D’ÉQUATION DU TYPE : A² - B² =0

Dés la 2nd

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION AVEC DES VALEURS ABSOLUES : POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU TYPE :
| x - a | = b .

POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU TYPE :
| x - a | = I x - b I .

ÉQUATION ET SOMME DE VALEURS ABSOLUES

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION OU L’INCONNUE FIGURE AU DÉNOMINATEUR

Dés la 1 ère

ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

RÉSOLUTION D’ÉQUATION DU TYPE :Cos x = Cos a

Dès la Terminale :

Résolution d’équations avec logarithme

Résolution d’équations avec des exponentielles

Résolution d’équations aux solutions complexes

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Dés la 5eme :

Notion d’équation :

I- Complétons l’égalité :

3 + .... = 8

Les pointillés représentent un nombre inconnu.L’objectif de la résolution d’une équation est de trouver cette inconnue.

Dans ce cas précis les .... représentent : 5

En effet 5 + 3 = 8

Il en va de même pour :

5 x .... = 15 ou .... = 3

En effet 3 x 5 = 15

dés la 4ème

- Résoudre une équation

Un nombre inconnu peut être représenté par une lettre ,généralement on désigne une inconnue par la lettre x.

Résoudre une équation d’inconnue x consiste à trouver la (ou les )valeur de x.

I - Résoudre une équation du type a + x = b ,
ou x est l’inconnue :

MÉTHODE

Pour trouver la valeur de x (ou les valeurs de x ) il faut isoler x.

Pour isoler x on applique la règle de transposition suivante.

RÈGLES DE TRANSPOSITION

Si a + b = c Alors a = c - b

On peut aussi écrire b = c - a

On isole x en ajoutant l’opposé de a aux deux membres de l’égalité (ce qui revient à retrancher a )

Considérons l’équation :

x + a = b

La solution de cette équation est x = b - a = b + ( - a )

( b - a ) est la valeur qui si elle est ajoutée à a donne b .

Exemples :

3 + x = 4 x = 4 - 3 = 1

En effet : 3 + 1 = 4

5 + x = 8 x = 8 - 5 = 3

En effet : 5 + 3 = 8

17 + x = 15 x = 15 - 17 = - 2

En effet: 17 + ( - 2 ) = 15

- 10 + x = 5 x = 5 - ( - 10 )

= 5 + 10 = 15

En effet : - 10 + ( 15 ) = 5

II - Résoudre une équation du type a ´ x = b ou x est l’inconnue :

Pour trouver la valeur de x (ou les valeurs de x ) il faut isoler x.

règle de transposition

Pour isoler x on applique la règle de transposition suivante.

RÈGLES DE TRANSPOSITION

a étant différent de 0

On isole x en multipliant les deux membres de l’égalité par l’inverse de a.

la solution de cette équation est

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Exemples I :

Exemples II :

3 ´ x = 6 x = 6 / 3 = 2

En effet 3 ´ ( 2 ) = 6

5 ´ x = 15 x = 15 / 5 = 3

En effet 5 ´ ( 3 ) = 15

3 ´ x = 18 x = 18 / ( 3 ) = 6

En effet 3 ´ ( 6 ) = 18

5 ´ x = 2 x = 2 / 5

En effet 5 ´ ( 2 / 5 ) = 2

Résoudre une équation d’inconnue x du type ax + b = c (par exemple 2x + 3 = 5 )

consiste à trouver la valeur ( ou les valeurs ) de x pour laquelle (lesquelles) l’expression est vérifiée.

Lorsque l’équation est de la forme
a.x + b = c ,

on transfère d’abord le nombre additionné "b" puis le nombre "a" qui multiplie x

(a différent de 0 ).

Exemple :

Exemple

dés la 3ème

Lorsque l’équation proposée n’est pas présentée sous une des formes précédentes on transfère des termes de part et d’autre du signe = , de façon à obtenir une forme d’expression classique.

Exemple :

3x + 4 = 2x - 5

transférons 2x à gauche du signe =

3x + 4 - 2x = -5

additionnons les x ensemble :

x + 4 = - 5

nous retrouvons bien une expression connue.

Exemple

-2x - 8 = - 4x + 4

transférons - 4x à gauche du signe = - 2x - 8 - ( - 4x ) = 4

-2x - 8 + 4x = 4

additionnons les x ensemble :

2x - 8 = 4

nous retrouvons bien une expression connue.

Le fait additionner les x ensemble , s’appelle réduire l’expression.

ÉQUATION PRODUIT:

Règle :

Un produit est nul que si l’un de ses facteurs est nul :

si a.b = 0 alors a = 0 ou b = 0.

Exemple :

( x - 2 ) . ( x+ 3 )= 0

Alors

( x -2 ) = 0 ou ( x + 3 ) = 0

La solution est donc

x = 2 ou x = - 3

Résoudre une équation du premier degré, sans fraction.

MÉTHODE :

A/ On simplifie l’écriture en enlevant les parenthèses et les crochets.

B/ On effectue les opérations.

C/ On cherche à obtenir une égalité équivalente de la forme ax=b en appliquant les règles.

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Exemple:

Résoudre l’équation:

7 - 3 ( 4 - 2 x ) - 5 [ 2 - 3 ( x - 5 ) ] = 4 - 3 ( x - 4)

Solution:

On simplifie l’écriture de l’équation en enlevant les parenthèses et les crochets.

7 - 1 2 + 6 x - 5 [ 2 - 3 x + 15 ] = 4 - 3 x + 12

7 - 12 + 6 x - 10 + 15 x - 75 = 4 - 3 x + 12.

On effectue les opérations

21x - 90 = 16 - 3x.

On cherche à obtenir une égalité équivalente de la forme ax = b.

Pour cela:

- On repère les termes "mal placés":

21x - 90 = 16 - 3x

- On applique les règles en ajoutant les opposés des termes repérés de chaque côté de l’égalité:

21x - 90 + 90 = 16 - 3x + 90

21x = 106 - 3x

21x + 3x =106 -3x + 3x

Résoudre une équation du premier degré avec fraction.

Méthode :

A/ On simplifie en enlevant les parenthèses et les crochets.

B/ On simplifie les fractions s’il y a lieu.

C/ On met au même

dénominateur.

D/ On applique les règles 3 et 4

E/ On termine les calculs.

Exemple:

Résoudre l’équation:

Solution:

On simplifie en enlevant les parenthèses et les crochets:

On commence par réduire au même dénominateur les fraction à l’intérieur des crochets

On simplifie les fractions si possibles:

On met au même dénominateur:

On applique les règles

On termine les calculs comme précédemment:

32-11x=24-30x 30-11x=24-32 19x=-8

La solution de l’équation est :

Équation du type x² = a

(a est un nombre positif )

a étant un nombre positif donné , l’équation x² = a admet deux solutions :

Exemple :

L’équation x² = 6 a pour solutions :

Attention on notera que

Résoudre un problème à l’aide d’une équation.

Exemple:

Ange a reçu pour son magasin 57 revues semblables, 38 cassettes et 43 livres.

Au total la facture s’élève à 14 417 F mais le prix de chaque article est illisible.

Ange se souvient qu’une revue coûte 35 F de plus qu’une cassette et que chaque livre coûte le double d’une revue.

Aidez-le à retrouver les prix illisibles.

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Solution:

-Choix de l’inconnue:

Si l’on connaît le prix de l’un quelconque des trois articles,

on peut connaître les prix des deux autres.

Les calculs sont plus faciles si l’on connaît le prix d’une cassette car il suffit alors de faire une addition et une multiplication.

Donc soit x le prix d’une cassette.

-Traduction de l’énoncé, mise en équation (il faut relire l’énoncé...):

Le prix d’une revue est : x + 35

Le prix d’un livre est : 2 ( x + 35 )

Le prix total est :

38 x + 57 ( x +35 ) +43 X 2 ( x + 35 ).

Or ce prix est 14 417,

d’où :

38x +57 ( x +35 ) + 86 ( x + 35 ) =14417.

-Résolution de l’équation:

38x + 57 + 1995 + 86x + 3010=14417

181x = 14417 - 5005 = 9412

x = 52

- Retour à l’énoncé et réponse:

Le prix d’une cassette est 52 F.

52 + 35 = 87.

Le prix d’une revue est 87 F.

2 X 87 = 174.

Le prix d’un livre est 174 F.

ÉQUATION DE DEGRÉS SUPÉRIEUR A 1

La résolution des équations de degrés supérieur à 1 consiste à trouver comme dans le cas des équations de degrés 1 l’ensemble des valeurs de x vérifiant l’équation.

POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DE DEGRÉS SUPÉRIEUR A 1.

1) Transposer tous les termes de l’équation à gauche du signe égal (=).

2) Factoriser le premier membre de l’équation.

3) Utiliser la propriété :

A.B = 0 on en déduit A = 0 ou B = 0

4) Écrire l’ensemble des solution.

FACTORISATION.

Pour factoriser une somme on peut :

1) faire apparaître un facteur commun puis factoriser ,

2) utiliser les produits remarquables ,

3) utiliser les deux méthodes 1) et 2) .

Exemple:

Résoudre l’équation:

( 7 - 3 x ) ( 5 x - 2 ) = 25x² - 20 x + 4 .

Solution:

Lorsque l’inconnue d’une équation a un exposant supérieur à 1, il faut toujours écrire l’égalité donnée:

a = b, sous la forme: a - b = 0.

( 7 - 3 x ) ( 5 x - 2 ) = ( 25 x ² - 20 x + 4 )

( 7- 3 x ) ( 5 x - 2 ) - ( 25 x² - 20 x + 4 )=0

Puis on essaie de factoriser ( a -b).

On ne développe que s’il n’est pas possible de factoriser:

( 7 - 3 x ) ( 5 x - 2 ) - ( 5 x - 2 )² = 0

( 5 x - 2 ) [ ( 7 - 3 x ) - ( 5 x - 2 ) ] = 0

( 5 x - 2 ) ( 7 - 3 x - 5 x + 2 ) = 0

( 5 x - 2 ) ( 9 - 8 x ) = 0 .

On applique la règle :

un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Il y a donc deux possibilités:

On résout les équations ainsi obtenues:

5x = 2

9 = 8x

Il y a donc deux solutions à cette équation:

EXEMPLE :

(x- 1).(2x + 2) = 2x.(x + 3)

Solution :

(x - 1).(2x + 2) = 2x.(x + 3)

développons

2x² + 2x - 2x - 3 = 2x² + 6x

réduisons

2x² - 3 = 2x² + 6x

transférons

2x² - 3 - 2x² - 6x = 0

- 3 - 6x = 0

-6x = 3

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS PAR UNE MISE EN FACTEUR COMMUN

Exemple :

résoudre x(x - 1) = (x - 1).(x + 2)

Solutions :

x(x - 1) = (x - 1).(x + 2)

donc x(x - 1) - (x - 1).(x + 2) = 0

donc (x - 1)[x -(x + 2)] = 0

donc (x - 1)[x - x + 2] = 0

donc (x - 1)[ 2] = 0

donc (x - 1) = 0

d'ou x = 1

S = {1}

III - 1 RÉSOLUTION D’ÉQUATION DU TYPE : A² - B² =0

Exemple

Résoudre (x - 2)² = 9

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Solution :

(x - 2)² = 9

d'ou (x - 2)² - 9 = 0

d'ou (x - 2)² - 3² = 0

d'ou (x -2 - 3).(x - 2 + 3) = 0

(x -2 - 3) = 0

(x - 2 + 3) = 0

d'ou x - 5 = 0 ou x + 1 = 0

d'ou x = 5 ou x = - 1

S = { - 1; 5 }

Exemple

résoudre (x + 1)² - (x + 3)² = 0

Solution :

(x + 1)² - (x + 3)² = 0

d'ou (x + 1 + x + 3).( x + 1 - x - 3) = 0

d'ou (2x + 4) = 0

x = - 2

S = { - 2}

Exemples :

Résoudre les équations:

A ) x² - 49 = 42

B) ( 5 x - 3 )² = 1

C) 2x² - 27 = 101.

Solution A:

x² - 49 = 0

Il faut factoriser.

(x - 7)(x + 7) = 0

x = 7 ou x = - 7.

Solution B:

B = ( 5x - 3 )² - 1² = 0

[ ( 5 x - 3 ) - 1 ] [ ( 5x - 3 ) + 1 ] = 0

( 5 x - 4 ) ( 5 x - 2 ) = 0

5x - 4 = 0 ou 5 x - 2 = 0

Solution C:

C = 2x² - 27 - 101 = 0

2x² - 128 = 0

2 ( x² - 64 ) = 0

2 ( x - 8 ) ( x + 8 ) = 0

x = 8 ou x = - 8 .

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dés la 2nd :

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION AVEC DES VALEURS ABSOLUES

POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU TYPE :

| x - a | = b .

1) Si b < 0 , l’équation n’a aucune solution S = {}

2) Si b = 0 , l’équation a une seule solution x = a. S = { a }

3) Si b > 0 , l’équation a deux solutions : a + b et a - b.

S = { a + b ; a - b}

Exemple :

résoudre | x - 3| = 4

Solution :

Cette expression mathématique signifie que la distance de 3 à x est égale à 4 .

Les méthodes de résolution nous permettent de conclure:

En effet 4 est supérieur à 0, donc

S = {4 + 3 ; 4 - 3} ;

S = {7; 1 }.

Exemple :

résoudre | x - 5| = 3

Solution :

Cette expression mathématique signifie que la distance de 5 à x est égale à 3 .

Les méthodes de résolution nous permettent de conclure:

En effet 3 est supérieur à 0, donc

S = { 5 + 3 ; 5 - 3 };

S = { 8 ; 2 }.

POUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DU TYPE :

| x - a | = I x - b I .

EXEMPLE 1 DISTANCES ET ÉQUATIONS

Déterminer les nombres x qui vérifient les équations:

Commentaire:

- Deux méthodes sont à votre disposition pour résoudre l’équation (1):

Vous pouvez interpréter cette équation géométrique, en termes de distance, en utilisant un axe muni d’un repère unitaire sur lequel vous placez les points A et B d’abscisses respectives 2 et - 6.

Dans une démarche algébrique vous savez aussi que deux nombres ont même valeur absolue si, et seulement si, ils sont soit égaux, soit opposés.

- Une démarche analogue permet la résolution de l’équation (2).

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Solution géométrique

Si A, B et M sont les points d’un axe d’abscisses respectives 2, - 6 et x, l’égalité (1) équivaut à :

MA = MB .

M est donc le milieu I de [AB]. L’équation (1) a pour unique solution l’abscisse de I, soit -2.

Une solution algébrique

équivaut à x - 2 = x + 6

ou x - 2 = - ( x + 6 )

L’égalité x - 2 = x + 6 étant impossible,

l’équation (1) équivaut à :

x - 2 = - (x + 6)

soit 2x = - 4, d’où x = - 2.

2/ L’équation (2):

Une solution géométrique

Si A, C et M sont les points d’un axe, d’abscisses respectives 2, - 1 et x, alors l’équation (2) équivaut à:

AM = 2CM.

Il existe deux points I et J qui vérifient cette égalité: I est le symétrique, d’abscisse - 4, du point A par rapport au point C, J est sur le segment [CM] tel que AJ = 2CJ :

J a donc pour abscisse 0.

L’ensemble des solutions de (2) est donc l’ensemble:

S = { - 4 ; 0 }.

Une méthode algébrique

les nombres x - 2 et 2x + 2 ayant la même valeur absolue,l’égalité (2) est équivalente à:

x - 2 = 2x + 2 ou x - 2 = - (2x + 2 )

soit encore :

x = - 4 ou x = 0. D’où S = { - 4 ; 0 }.

ÉQUATION ET SOMME DE VALEURS ABSOLUES

DISTANCES ET ÉQUATIONS

Déterminer les nombres x qui vérifient les équations:

Commentaire:

- Deux méthodes sont à votre disposition pour résoudre l’équation (1):

Dans une démarche algébrique vous savez aussi que deux nombres ont même valeur absolue si, et seulement si, ils sont soit égaux, soit opposés.

- Une démarche analogue permet la résolution de l’équation (2).

MÉTHODES:

L’utilisation d’un axe muni d’un repère unitaire permet d’interpréter en termes de distance l’égalité en distinguant les différents cas.

Une approche algébrique est aussi possible à partir de la définition de la valeur absolue d’un nombre en fonction de son signe.

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Une solution géométrique

Considérons sur une droite (D), munie d’un repère unitaire, les points A et B d’abscisses respectives - 3 et 2 et M un point d’abscisse x.

L’équation proposée s’écrit :

MA + MB = 7 (2).

- Si M appartient à [AB ] alors

MA + MB = AB ,

soit MA + MB = 5.

L’égalité (1) n’est donc pas vérifiée lorsque M appartient à [AB].

- Si M appartient à la demi-droite d’origine A ne contenant pas B, la relation (2) s’écrit :

2MA + AB = 7 soit encore 2(- 3 - x)+ 5 = 7.

D’où x = - 4.

Cette valeur est acceptable car, inférieure à - 3, elle correspond à un point de la demi-droite étudiée.

- Si M appartient à la demi-droite d’origine B ne contenant pas A, la relation (2) s’écrit :

2BM + AB = 7 soit encore 2(x - 2)+ 5 = 7.

D’où x = 3 .

Cette valeur est acceptable car, supérieure à 2, elle correspond à un point de la demi-droite étudiée.

Finalement l’ensemble des solutions de l’équation (1) est donc: {- 4, 3}.

Indications pour une solution algébrique

Il reste alors à résoudre, dans chacun des intervalles, les équations déduites de ce tableau.

RÉSOUDRE UNE ÉQUATION OU L’INCONNUE FIGURE AU DÉNOMINATEUR

Exemple :

Résolvez l’équation

MÉTHODE :

Pour résoudre une équation où l’inconnue figure au dénominateur, on se ramène à une équation

et on résout A(x) = 0. Les valeurs de x qui annulent le dénominateur ne peuvent pas être des solutions.

SOLUTION :

On écrit l’équation sous la forme

Or, dire

équivaut à dire A = 0 et

On résout donc l’équation

Celle-ci a pour solutions - 2 et 3.

Aucune de ces solutions n’annule le dénominateur (x+1)(x-1), donc les solutions de l’équation proposée sont -2 et 3.

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Dés la 1ere

ÉQUATION DU SECOND DEGRÉS

Définition : équation du second degré.

L’équation ax² + x + c = 0 , a non nul, est dite équation du second degré.

Les solutions de cette équation sont aussi appelées les racines du polynôme P(x) = ax² + x + c

c’est à dire :

si x₁est solution de l’équation

ax² + bx + c = 0

alors P(x₁) = 0

Définition : discriminant.

On appelle discriminant du polynôme P(x) = ax² + x + c le nombre

D = b² - 4ac.

Pour résoudre ax² + x + c = 0.

1) calculer le discriminant

D = b² - 4ac

Si D< 0 alors l’équation n’admet pas de solution S = { }.

Si D= 0 alors l’équation admet une solution unique, S = {(-b) / 2a }.

Si D> 0 alors l’équation admet deux solutions ,

x₁ = (-b - )/2a;

x₂= (-b + )/2a

S ={ (-b - )/2a; (-b + )/2a }.

2) Si les coefficients le permettent on peut rechercher une « solution évidente » en remplaçant x, par , -2, -1, 0, 1, 2 , dans l’équation et vérifier (ou non) q’une de ces valeurs est solution de l’équation.

3) Si l’équation du second degré admet deux solutions x₁ et x₂ ,

et si on connaît une de ces solutions (par exemple en déterminant une solution évidente du type :-2, -1, 0, 1, 2)

alors on peut trouver l’autre solution en utilisant les relations : x₁ + x₂= -b/a

et x₁ . x₂= c/a.

EXEMPLE :

Résoudre dans R :

(E) : x² - 3x + 7 = 0

Calcul de D :

D = ( - 3)² - 4.1 .7 =9 - 28 = - 19

D est négatif S = { }

EXEMPLE :

Résoudre dans R :

(E) : 2x² + 5x + 1 = 0

Calcul de D :

D = ( -5)² - 4.2.1 = 25 - 8 = 17

(D est positif , (E) admet deux solutions )

calcul de x₁ et x₂ :

x₁ = ( - 5 - )/ 4

x₂ = ( - 5 + )/ 4

S = { ( - 5 - )/ 4 ; - 5 + )/ 4

EXEMPLE :

Résoudre dans R :

(E) : x² - 2x + 1 = 0

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Calcul de D :

D = ( -2)² - 4.1.1 = 0

D est nul donc (E) admet une seule solution

calcul de x₀ :

x₀ = - (-2) / (2.1) = 1

S = {1}

EXEMPLE :

Cas particuliers:

a) Recherche de racines évidentes

Résoudre dans R :

x² + x - 12 = 0

Solution :

si on remplace x par - 2, - 1, 0 , 1, 2, on s’aperçoit de tête qu’aucune de ces valeurs ne vérifie l’équation .

par contre en remplaçant x par 3 on obtient :

(3)² + 3 - 12 = 0

x₁ = 3 est donc solution

si on utilise ensuite la relation du cours x₁ . x₂ = c / a

on obtient 3.x₂ = - 12 / 1

d’ou on tire x₂ = - 4

S = { - 4; 3}

EXEMPLE :

b) Équation du type 4x² - 1 = 0

Solution :

4x² - 1 = 0 (identité remarquable)

(2x -1).(2x + 1) = 0

d’ou 2x - 1 = 0

ou 2x + 1 = 0

x = - 1 / 2 ou x = 1 / 2

S = { - 1 / 2 ; 1 / 2 }

EXEMPLE :

c) Équation du type 8x² + 5 = 0

Solution :

8x² est toujours positif donc

8x² + 5 est toujours supérieur à 5 et ne peut donc pas être nul.

S = {}

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RÉSOLUTION D’ÉQUATION DU TYPE :

Cos x = Cos a

On appliquera toujours la même méthode.

Si Cos x = Cos a alors

x = a + 2kp ou x = - a + 2kp

S = { a + 2kp ; x = - a + 2kp }

RÉSOLUTION D’ÉQUATION DU TYPE :

sin x = sin a

On appliquera toujours la même méthode.

Si sin x = sin a alors

x = a + 2kp ou x = p - a + 2kp

S = { a + 2kp ; x = - a + 2kp }

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dés la term.

Résolution d’équations avec logarithme

MÉTHODE:

MÉTHODE A RETENIR :

Recherche de l’ensemble de définition D.

Transformation de l’équation en somme de logarithmes (pour obtenir des produits plutôt que des quotients).

Utilisation des théorèmes du cors pour obtenir une égalité entre deux logarithmes.

Utilisation de la propriété

ln a = ln b donc a = b pour obtenir une équation sans logarithme.

Résolution de l’équation - On vérifie que les solutions appartiennent à D.

On se propose de résoudre dans l’équation .

MÉTHODE:

On cherche l’ensemble des x pour lesquels cette équation existe.

En utilisant les propriétés algébriques de ln, on transforme l’équation pour se ramener à : ln (A) = ln(B).

On applique le théorème "la fonction ln est une bijection" :

ln (A) = ln(B) équivaut à A = B,

et on résout l’équation obtenue.

On vérifie si les valeurs trouvées appartiennent à l’ensemble de définition de l’équation, et on donne l’ensemble solution.

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SOLUTION :

Ensemble de définition :

La quantité dont on prend le logarithme doit être strictement positive.

Pour que l’équation existe, il faut :

· Transformation

Comme ln a + ln b = ln ab, l’équation devient

ln (x - 1) (x - 3) = ln 3.

Résolution technique

Comme la fonction ln est une bijection, l’équation équivaut à :

·Vérification

Il faut

REMARQUES PRATIQUES I:

Pour chercher l’ensemble solution, il faut se souvenir qu’il y a autant d’inéquations à poser que de ln portant sur des expressions différentes comportant x.

Dans l’écriture de l’équation, si un logarithme est soustrait, il est préférable

de le transposer dans l’autre membre.

Par exemple, l’équation ln x - ln (x + 1) = ln 2 devient

ln x = ln 2 + ln (x + 1).

Si tous les ln ne portent que sur x (ou la même expression);

par exemple :

Ne pas confondre

De plus, Lnx² existe pour tout réel, sauf 0.

Remarque pratique II

On ne peut résoudre par un procédé algébrique une équation comme 2 x - 1 + ln (x + 2) = 0, somme d’un polynôme et d’un logarithme de l’inconnue.

Seule une résolution approchée de l’équation f (x) = 0 est possible.

Équation en Ln

Résoudre dans , l’équation :

Solution :

On cherche l’ensemble de définition de cette équation.

L’équation (E) équivaut à :

une propriété du cours permet d’obtenir :

Cette équation équivaut à :

0 n’appartient pas à D.

Les solutions de l’équation sont donc :

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Résolution d’équations avec des exponentielles

MÉTHODES :

Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour se ramener à:

une équation de la forme: e^u(x) = e^v(x).

une inéquation de la forme: e^u(x) £ e^v(x) ou e^u(x) < e^v(x).

Utiliser la bijection ou la croissance de la fonction exponentielle pour résoudre ces équations ou ces inéquations.

Effectuer, éventuellement, le changement de variable
X = e^x, puis résoudre l'équation ou l'inéquation obtenue pour X > 0;
en déduire les solutions de l'équation ou de l' inéquation d'inconnue x.

Exercice :

Résoudre dans R l'équation:
3e^-5.e^2x = e^3-2x. (1)