| Intégrales
Préparation interrogation
Préparation au baccalauréat
( 23
questions traitées en détail )
EXERCICE 1 :
| Soit g la fonction définie sur R par : 
Calculer sa dérivée et en déduire la valeur de l’intégrale :
MÉTHODE
L’intégrale est égale à la différence F(b) - F(a).
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Solution : 
Lorsque g’ est la dérivée de g, alors g est une primitive de g’.
Interprétation géométrique :
Sur [ 0, 3 ], la courbe C d’équation y = f(x) est située au-dessus de l’axe
des abscisses ( à démontrer ).
L’intégrale est l’aire ( en unité d’aire ) du domaine en bleu limité
par la courbe C, l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 3.
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Exercice 2: 1er calcul d'aire
 
et C f sa courbe
représentative.
On se propose de calculer l’aire du domaine limité par la courbe C f, son asymptote D
d’équation y = x - 1,
l’axe des ordonnées et la droite verticale d’équation x = 3.
L’intervalle [ a; b ] est [ 0; 3 ].
Méthode :
- On étudie le signe de f(x) - g(x), afin de connaître la position relative des deux
courbes sur l’intervalle [a, b].
- Si cette différence est positive, pour tout x de de [a, b], la courbe C f est située au-dessus de la
courbe Cf, on
pose:
h(x) = f(x) - g(x)
( Si la différence f(x) - g(x) est négative, on pose h(x) = g(x) - f(x) ).
- On détermine une primitive de h sur |a, b| et on calcule l’intégrale.
- On exprime l’unité d’aire en cm 2 ( ou mm2, ou autre ) et on donne l’aire suivant cette unité. |
Exercice 3 : 2eme Calcul d'aire
| Le plan est rapporté à un repère orthonormal
( O, i , j ). Unité
graphique 5 cm.
1. Calculer en cm2, l’aire A(1) de
la partie du plan délimitée par C, l’axe des abscisses et les droites
d’équations :
2. Soit l un réel positif.
a.
Calculer en cm2, l’aire A(1) de la
partie du plan délimitée par C, l’axe des abscisses et les droites
d’équations :
b.
c.
Peut-on déterminer l pour que A(l)
soit égale à 23 cm2 ?
MÉTHODE :
L’aire de la partie du plan comprise entre
Cf,
l’axe des abscisses et les droites d’équations :
x = a et x = b, a < b, lorsque f est
positive sur [ a ,b ], est égale à :
Il faut donc
* chercher une primitive de f sur [ a, b ];
* déterminer l’ unité d’aire ( voir activité 2 ). |
Solution :
l’ unité d’aire est égale à 5 cm2
soit 25 cm2.
Donc A(1) = 15 cm2.
Finalement : A(11) = 23 cm2.
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Exercice 4 : 3 eme calcul d'aire
Calcul d'aire comprise entre deux courbes
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i , j).
Soit P1, la parabole d'équation : y = x2 - 2 et P2
la parabole d'équation :
y = -x2 + 2x + 2.
Calculer l'aire de la partie D du plan comprise entre P1,
et P2.
Méthode :
Pour déterminer l’aire comprise entre deux courbes Cf
et CG :
* chercher les abscisses des points d' intersection. Elles donneront les bornes de
l’ intégrale : a et b ;
* repérer quelle courbe est au-dessus de l' autre.
La différence entre les deux fonctions f et g doit être une fonction positive;
* le calcul de l' intégrale donne le résultat en unité d' aire. Il faut chercher
cette unité
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| Solution :
Représentation graphique :
L' équation de la parabole P2 peut
s'écrire : y = - (x - 1)2 +3.
Elle a donc pour sommet S( 1, 3 ) et sa concavité est tournée « vers le bas ».
On cherche les coordonnées des points d'intersection de P1
et P2.
Les coordonnées vérifient le système :
y = x2 - 2
et y = -x2 + 2x +2
soit
y = x2 - 2
et - x2 - x - 2 = 0
P1 et P2
se coupent en A ( -1, -1) et B ( 2, 2 ).
donc
( -x2 + 2x +2 )- ( x2 -2 ) = -2( x2 -
x - 2 )
= -2(x + 1)(x - 2).
Donc, pour tout x de [-1, 2 ],
Par conséquent :
A(D) = 9 unités d’aire.
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3 ) Intégration
par partie.
| Exercice 5 :
Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties :
A(x) = ax + b.
Méthode :
1-
On vérifie que l’intégrale existe et on regarde la forme de la fonction :
* Si une exponentielle apparaît, on en connaît une primitive; donc on pose :
u’(x)= eA(x) et v(x) = P(x)
* Si une irrationnelle apparaît, on en connaît une primitive; donc on pose :
* Si un logarithme apparaît, sa dérivée ne comporte plus de ln; donc on pose :
u’(x)= ln(A(x)) et u’(x) = P(x)
car on connaît une primitive d’un polynôme.
2-
On cherche u(x), une primitive de u’(x), et v’(x), la dérivée de v(x).
Cela permet d’obtenir les expression u(x).v(x) et v’(x).u(x).
On cherche alors une primitive de v’(x).u(x).
3-
On applique la formule de l’intégration par parties :
4-
On obtient l’intégrale par calcul des termes mis en évidence précédemment.
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Solution : Calcul de I1
et la dérivée de v(x) = 3x + 1 et v’(x) = 3.
On applique la formule de l’intégration par parties :
D’où la valeur de l’intégrale :
Calcul de I2
> Remarque :
Lorsque la fonction f est de la forme f(x)
= k. ln ((A(x)),
le polynôme P(x) se résume au nombre k dont une primitive est kx.
Comme ln x apparaît, on pose v(x) = ln x est u’(x)= x +1.
* On applique la formule de l’intégration par parties :
D’où la valeur de l’intégrale :
D’où la valeur de l’intégrale :
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Exercice 6 : intégration par partie (suite )
| a. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, les deux
intégrales suivantes :
 
b. Calculer, à l'aide de deux intégrations par parties successives, l'intégrale :
MÉTHODE :
- Dans le produit de fonctions à intégrer, choisir la fonction à dériver avec
précaution; dans certains cas, ce choix s'impose.
- Appliquer le théorème de l'intégration par parties.
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Solution :
a. Calcul de A.
Les conditions d’application du théorème de
l’intégration par parties sont satisfaisantes car les fonctions u et v sont
dérivables et ont des dérivées continues sur [ 0, ln 2 ].
On cherche à diminuer le degré du polynôme x +
2.
On pose v(x) = x +2 et u’(x) = e-x.
On a v’(x) = 1 et on choisit u(x) = -e-x.
Nous pouvons appliquer le théorème de l'intégration par parties.
Calcul de B
> On ne connaît pas de primitive de ln mais la
fonction ln a une dérivée simple :
Il est nécessaire de faire apparaître un produit. On peut écrire In x = 1 x In x.
On pose u’(x) = 1 et v(x) = ln x.
Nous pouvons appliquer le théorème de l'intégration par parties.
b.
Il est nécessaire de diminuer le degré de x2.
On pose u’(x) = sin x et v(x) = x2.
On choisit u(x) = - cos x et on a v’(x) = 2x.
On obtient : 
Une nouvelle intégration par parties donne :
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ES
Exercice 7 :
| 1. Calculer la valeur de l’intégrale : 
2 )
Calculer I - K.
3 ) En déduire la valeur de K.
Donner de ce résultat une valeur approchée à 10-3
près, par défaut.
MÉTHODE :
* On vérifie que f est continue sur [ a, b ].
2. * On utilise la propriété de linéarité de l’intégrale pour calculer I - K.
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Solution : 
Par conséquent elle admet une primitive sur
[ ln 2, ln 3 ].
Soit u(x) = ex -1, u est dérivable et
strictement positive sur [ ln2, ln 3 ] et u’(x) =ex.
|
S
Exercice 8 : calcul d’intégrales.
| a. Calculer les deux intégrales suivantes : 
Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :
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Solution : a.
Calcul de A.
x 2 + 2x + 3 =
(x+1)2 + 2.
Donc x 2 + 2x +3
>0.
Si on pose u(x) = x 2 + 2x +3,
on a : u’(x) = 2x + 2.
Par suite :
Calcul de B
Le tableau ci-dessous donne l'expression de f(x) = |x|+|x-3| sans le symbole valeur
absolue.
L’expression de f(x) sans
le symbole valeur absolue change lorsque l’on " traverse " 0 et 3.
Pour le calcul de B, il faut utiliser la
relation de Chasles.
Sur l’intervalle [1, 3 ] ,
x + 1 > 0
(ax + b)(x + 1) + c = x 2 + 2x + 3,
ce qui équivaut à :
ax 2 + ( a + b)x
+ b + c = x2 + 2x
+ 3
On obtient a = 1, b = 1 et c = 2.
D'où
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Exercice 9 :
Calcul de valeur moyenne .
| 1 )
Soit la fonction H définie sur I par :
h(x) = - (x + 1)e-x.
2 )Calculer sa dérivée
3 ) En déduire la valeur moyenne M de la fonction g définie sur I par g(x) = x.e-x .
4 ) Peut-on dire que, sur un intervalle, la valeur , moyenne du produit de deux
fonctions est le produit des valeurs moyennes des fonctions ?
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Solution : La valeur moyenne d’une fonction f sur un
intervalle [ a, b ] est le réel :
2 ) h(x) = - (x + 1)e-x.
Pour tout réel x, h’(x) = -e-x +(
x+1 ) = e-x = x.e-x
= g(x).
La dérivée de la fonction h est la fonction g, donc h est une primitive de g sur I.
3 )
M et M1M2
sont différents.
Donc, sur un intervalle, la valeur moyenne du produit de deux fonctions n’est pas
le produit des valeurs moyennes de ces fonctions. |
Calcul de primitive :
| Exercice 10 : Déterminer la primitive de la
fonction f définie sur R par:
f (x) = e -x.
sin x et s'annulant en 0.
On utilisera deux intégrations par parties successives.
Indiquer une vérification.
MÉTHODE :
- Rappeler qu'une primitive de la fonction f continue sur I s'annulant en a est la
fonction F définie sur I par:
- Appliquer les techniques usuelles d'intégration.
- Vérifier le résultat en calculant la dérivée de F.
On doit obtenir F' = f sur I.
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Solution :Les bornes d’intégration sont 0 et x car F doit s’annuler en 0.
- La fonction f est continue sur R donc f admet des primitives sur R.
Soit F la primitive cherchée; on a :
Posons u'(t) = e -t et v(t) = sin t.
On choisit : u (t) = e -t et on a v’(t) = cos t.
Les fonctions u et v sont dérivables et ont des dérivées continues sur le segment [
0; x ] et ceci pour tout nombre réel x.
On peut donc appliquer le théorème de l'intégration par parties.
On obtient:
Finalement :
F(x) = e -x.sin
x - e-x.cos x + 1
- F(x).
 
- Vérification :
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