CH 6 

SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS  A   DEUX INCONNUES

 

 

 

 

 

I - L’ESSENTIEL DU COURS A MAÎTRISER PARFAITEMENT :

Peu de choses à maîtriser sur le plan du cours dans ce chapitre.

Ici encore c'est à travers les explications des méthodes et  les résolutions détaillées des exemples et des exercices que l'on parvient à savoir faire.

Définition :

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues x et y, c’est chercher tous les couples (x,y) vérifiant les deux égalités données.

 

Règle: soient quatre nombres a, b, c, et d.

      

 

 

MÉTHODE pour résoudre un système par substitution :

 

A/ On exprime x en fonction de y en l’extrayant de la première ou de la seconde équation, c’est à dire celle qui paraît la plus simple.

B/ On reporte la valeur de x dans la seconde équation qui devient donc une équation du premier degré en y.

 

 

Remarque:

dans tous les cas, on peut choisir x ou y comme inconnue à substituer, mais c’est celle qui donne le calcul le plus simple qu’il vaut mieux prendre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Exemple:

résoudre le système:

Solution:

Transformer une des égalités (1) pour exprimer l’une des inconnues x ou y en fonction de l’autre:

(1) 5x + 2y = a d’où 2y = - 5x

 

Remplacer, dans l’autre égalité (2) cette inconnue par l’expression (a) trouvée précédemment:

Résoudre l’équation (2’) à une inconnue ainsi obtenue:

Reporter la valeur ainsi trouver dans l’égalité (a):

Le couple ( 2 , - 3 ) est solution du système.

 

 

Exercice 1 et 2 :

Résoudre par substitution les systèmes:

 

 

 

 

 Solution:

                                          

La solution est: x = 3 et y = 1 ou ( 3 ; - 1 )

 

 

 

 

 Solution B :

                          

la solution est x = - 2 et y = 2 ou ( - 2 ;2 )

 

 

 

 

 

MÉTHODE pour résoudre un système par addition ou combinaison.

 

 

On cherche à éliminer l’une des deux inconnues.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Exemple:

résoudre le système:

 

Solution:

L’équation (1) : 7x - 4y = 5 sera remplacée par :

et l’équation (2) : 5x + 6y = - 2 sera remplacée par :

On obtient le système :

On fait la somme des deux égalités membre à membre:

35x - 20y - 35 - 42y = - 62 y        ;    25+14 = 39

La sommes des deux égalités donne donc:

Il est aussi possible de multiplier la première égalité par 3 et la seconde par 2 pour éliminer y en sommant, puis résoudre l’équation ainsi trouvée.

 

 

 

 

 

 

 

EXERCICES 3 et 4

Résoudre par addition (ou combinaison) les systèmes suivants:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution: du système I

A/ On multiplie la première équation par 2 et la seconde équation par ( - 3) puis on additionne les deux équations obtenues membre à membre

On trouve alors y dont on reporte la valeur dans une équation pour trouver x.

                         

      

                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Résolution du système B :

 

B/ On multiplie la première équation par 3 et la seconde équation par (-2):

On vient d’obtenir la valeur de y.

On multiplie ensuite la première équation par 2 et la seconde équation par (-3):

puis on additionne les deux équations membre à membre , on obtient ainsi - 15x = 7

 

Résoudre un système graphiquement.

MÉTHODE

A/ Transformer chaque équation pour l’écrire sous la forme y = ax + b.

B/ Représenter graphiquement les droites D1 et D2 ainsi définies.

C/ Lire les coordonnées de leur point d’intersection (cf chapitre "équation de droite").

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Exemple:

Résoudre le système:

 

Solution:

 

Les points de coordonnées ( x ; y ) tels que y = 3x - 13 sont les points d’une droite D1.

Pour tracer cette droite, cherchons deux points:

Déterminons par exemple les points d’abscisses 2 et 4.

Si x = 2, y = - 7                    A(2,-7)

Si x = 4, y = - 1                    B(4;-1)

Plaçons ces deux points et traçons la droite (AB) ou D1.

Pour tracer cette droite, cherchons deux points.

Déterminons par exemple les points d’abscisses -2 et 8.

Si x = - 2 , y = 0 , A ( - 2 ; 0 )

Si x = 8 , y = -8 , B ( 8 ; - 8 ).

Plaçons ces deux points et traçons la droite (EF) ou D2.

 

Le point d’intersection de D1 et D2 est le point C de coordonnées ( 3 ; - 4 ).

ON LE LIT SUR LE GRAPHIQUE.

Ces coordonnées vérifient les équations des deux droites et sont donc solution du système d’équations.

Remarque:

On aurait pu déterminer d’autres points des droites D1 et D2 en choisissant d’autres valeurs de x. On choisit en général des valeurs de x qui permettent un calcul facile de y.

 

 

EXERCICE 6 ET 7

Résoudre graphiquement les systèmes suivants:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Solution : A/

Les points de coordonnées ( x ; y ) tels que         y = 3x + 8 sont les points d’une droite D1.

Pour tracer cette droite, cherchons deux points:

Si x = 0 , y = 8

Si x = - 3 , y = - 1 .

Les points A ( 0 ;8 ) et B (- 3 ; - 1) sont deux points de D1.

Prout tracer cette droite, cherchons deux points:

si x = 1 , y = 0

si x = 4, y = - 2

Les points E ( 1 ,0 ) et F ( 4 ; -2 ) sont des points de D2.

Le point d’intersection de D1 et D2 a pour coordonnées ( - 2 ;2 ) donc la solution est                         x = -2 et y = 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Solution du système B/ :

Pour représenter les droites D1 et D2 d’équations respectives :

 

Cherchons deux points pour chaque droite.

Les points A ( 2 ; -3 ) et B ( - 3 ; 1) sont des points de D1.

Les points E ( 0 ; - 6 ) et F ( 4 ; 0 ) sont des points de D2.

le point d’intersection de D1 et D2 a pour coordonnées ( 2 ;- 3 ),

la solution est donc: x = 2 et y = - 3 .