CHAPITRE 5

REPÈRES

 

17 résolutions détaillées réparties dans 5 exercices

I - L'ESSENTIEL DU COURS A MAÎTRISER

II - MÉTHODES DE RESOLUTION

III - PRÉPARATION INTERROGATION

 

 

I - L’ESSENTIEL DU COURS A MAÎTRISER PARFAITEMENT

 

I - 1 REPÈRES ET BASES

 

I - 2 COORDONNÉES D’UN VECTEUR

 

I - 3 COORDONNÉES D’UN POINT

 

I - 4 COORDONNÉES D’UN VECTEUR

 

I - 5 COORDONNÉES D’UN VECTEUR SOMME DE DEUX VECTEURS

 

I - 6 ÉQUATION D’UNE DROITE PARALLÈLE à L’AXE DES ORDONNÉES

 

I - 7 ÉQUATION D’UNE DROITE PARALLÈLE A L’AXE DES ABSCISSE

 

I - 8 ÉQUATION D’UNE DROITE NON PARALLÈLE A L’AXE DES ORDONNÉES

 

I - 9 AUTRE ÉQUATION D’UNE DROITE

 

II - MÉTHODES DE RÉSOLUTION

 

II - 1 Pour trouver les coordonnées d’un point M du plan donné dans un repère

 

II - 2 Pour trouver les coordonnées du vecteur quand on connaît les coordonnées des points M(x , y) et N(x’ , y’).

 

II - 3 Pour trouver les coordonnées d’un vecteur égal à la somme de deux vecteurs :

 

II - 4 Pour trouver les coordonnées du vecteur quand on connaît les coordonnées du vecteur .

 

II - 5 Pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires :

 

II - 6 Pour trouver le milieu I d’un segment [AB] :

 

 

 

 

I - L’ESSENTIEL DU COURS A MAÎTRISER PARFAITEMENT

 

I - 1 REPÈRES ET BASES :

Un repère du plan est constitué d’un point appelé origine du repère et de deux vecteurs formant une base (deux vecteurs du plan forment une base s’ils ne sont pas colinéaires).

 

 

I - 2 COORDONNÉES D’UN VECTEUR (DÉFINITION)

Tout vecteur du plan s’écrit , d’une façon et d’une seule , en fonction des vecteurs de base.

x et y sont des nombres réels appelés coordonnées du vecteur dans la base .

Le vecteur et ses coordonnées peut s’écrire

 

 

I - 3 COORDONNÉES D’UN POINT

Dans le repère les coordonnées d’un point M sont les coordonnées du vecteur dans la base .

 

On note M(x , y) /

Le nombre x est appelé l’abscisse du point M et le nombre y est appelé l’ordonnée du point M.

I - 4 COORDONNÉES D’UN VECTEUR

Soit un point A de coordonnées (xa , ya)

Soit un point B de coordonnées (xb , yb)

Les coordonnées du vecteur sont (xb - xa , yb - ya)

 

 

 

 

I - 5 COORDONNÉES D’UN VECTEUR SOMME DE DEUX VECTEURS

Soit un vecteur de coordonnées (x , y).

Soit un vecteur de coordonnées (x’ , y’).

Soit k un nombre Réel.

Les coordonnées du vecteur
sont  (x + x’ , y + y’).

Les coordonnées du vecteur   sont (kx , ky)

I - 6 ÉQUATION D’UNE DROITE PARALLÈLE à L’AXE DES ORDONNÉES

 

L’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées est :

x = k ,      k étant Réel.

 

 

 

 

 

I - 7 ÉQUATION D’UNE DROITE PARALLÈLE A L’AXE DES ABSCISSE

L’équation d’une droite parallèle à l’axe des abscisses est y = k , k étant Réel.

 

 

I - 9 AUTRE ÉQUATION D’UNE DROITE

Toute droite du plan a pour équation : ax + by + c = 0.

Un vecteur directeur d’une droite ayant pour équation ax + by + c = 0 ,

a pour coordonnées:

Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d’équation

y = ax + b.

I - 8 ÉQUATION D’UNE DROITE NON PARALLÈLE A L’AXE DES ORDONNÉES

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :

y = ax + b.

a est appelé le coefficient directeur de la droite.

b est l’ordonnée à l’origine.

Un vecteur directeur d’une droite ayant pour équation y = ax + b a pour coordonnées:

Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d’équation :

y = ax + b.

Deux droites ayant même coefficient directeur sont parallèles.

( Une droite parallèle à l’axe des ordonnées , donc d’équation x = k , n’a pas de coefficient directeur )

 

 

 

 

II - MÉTHODES DE RÉSOLUTIONS

 

 

II - 1 Pour trouver les coordonnées d’un point M du plan donné dans un repère

- Pour trouver l’abscisse du point M :

on projette le point M sur l’axe des abscisses parallèlement à l’axe des ordonnées, la lecture de la projection de M nous donne son abscisse.

- Pour trouver l’ordonnée du point M :

on projette le point M sur l’axe des ordonnées parallèlement à l’axe des abscisses, la lecture de la projection de M nous donne son ordonnée.

 

 II - 2 Pour trouver les coordonnées du vecteur quand on connaît les coordonnées des points M(x , y) et N(x’ , y’).

 

Le calcul de x’ - x donne l’abscisse du vecteur .

Le calcul de y’ - y donne l’ordonnée du vecteur .

M(x , y) N(x’ , y’) ( x’- x , y’ - y)

 

 

II - 3 Pour trouver les coordonnées d’un vecteur égal à la somme de deux vecteurs :

 

Pour trouver l’abscisse du vecteur somme , on additionne les abscisses des vecteurs et.

Pour trouver l’ordonnée du vecteur somme , on additionne les ordonnées des vecteurs et.

 

Remarque :

Si le vecteur était la somme de plus de deux vecteurs , on additionnerait toutes les abscisses et toutes les ordonnées des vecteurs pour trouver les coordonnées du vecteur .

 II - 4 Pour trouver les coordonnées du vecteur quand on connaît les coordonnées du vecteur .

Pour trouver l’abscisse du vecteur on multiplie par k l’abscisse du vecteur .

Pour trouver l’ordonnée du vecteur on multiplie par k l’ordonnée du vecteur .

Exemple :

 

 

 

 

 

II - 5 Pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires :

Les vecteurs et sont colinéaires si :

 II - 6 Pour trouver le milieu I d’un segment [AB] :

Soient les points A et B du plan de coordonnées :

A (xA , yA ) et B (xB , yB ).

Si I est le milieu de [AB] alors le point I a pour coordonnées :

 

 

 

III - PRÉPARATION INTERROGATION :

 

III - 1 EXERCICES DE BASES :

EXERCICE 1 :

Les points suivant étant donnés A (2 ; 5) , B (1 ; 6) C (- 2 ; - 3) ,

calculer les coordonnées des vecteurs :

; ; ;;.

 

 

 

 

 

 

 Solution :

 

Exercice 2 :

Le vecteur   et le point A ( 1 ; 1 ) étant donnés déterminer les coordonnées du point M tel que :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution :

 

 

 

 

 

Exercice 3 :

Dans un repère orthonormal , considérons les points A , B , C , D de coordonnées A( 2 , 5 ) ; B( - 3 , 4 ) C( 6 , 1 ) D ( -5 , -2 )

1 ) Tracer les points A , B , C , D

2) Calculer le milieu des segment [AC] et [ BD]

3) Déterminer les coordonnées du point M tel que

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 SOLUTION :

1)

2) milieu des segment [AC] et [ BD] :

En appliquant la règle de calcul du II - 6 , on obtient :

Les coordonnées de I milieu de [CA] sont :

Les coordonnées de J milieu de sont [ BD] :

3 ) Pour déterminer les coordonnées du point M tel que

Écrivons les coordonnées du vecteur :

 

Écrivons les coordonnées du vecteur :

Si alors

2 - xM = - 2 et 5 - yM = - 6

on en déduit :

xM = 4 et yM = 11

Le point M a pour coordonnées : M ( 4 ; 11 )

 

Exercice 4 :

III - 2 DÉTERMINATION DE L’ÉQUATION D’UNE DROITE (D) CONNAISSANT DEUX POINTS DE (D)

 

Dans un repère orthonormal , considérons les points A , B de coordonnées : A ( 5 , -2 ) - B ( - 3 , 2 ).

 

1) Placer les points A et B .

2) Déterminer l’équation de la droite (AB).

3) Démontrer que la droite (AB) est parallèle à la droite passant par le point C (1 , 1) et de vecteur directeur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 SOLUTION :

1 ) Graphe :

2 ) Équation de la droite (AB) :

Comme toute droite du plan la droite (AB) a une équation de la forme :

y = a.x + b

De plus cette droite passe par les points A (5 ; -2) et B(- 3 ; 2)

Les coordonnées des point A et B doivent vérifier

l’équation de la droite : y = a.x + b

On écrit : - 2 = a . 5 + b

x est remplacé par l’ordonnée du point A

y est remplacé par l’ordonnée du point A

2 = a . (- 3) + b x est remplacé par l’ordonnée du point B

y est remplacé par l’ordonnée du point B

On obtient ainsi un système de deux équations à deux inconnues :

- 2 = 5a + b (1)

2 = - 3a + b (2)

Les résolutions de ce type de système ont été vues et étudiées en 3ème

 

méthode par substitution :

dans la première équation on peut isoler b en écrivant

b = - 2 - 5a

 

dans la deuxième équation on peut substituer b par son expression en fonction de a c’est à dire b = - 2 - 5a

On obtient : (2) 2 = - 3a + (- 2 - 5a)

2 = - 3a - 2 - 5a

2 = - 8a - 2

4 = - 8a

- 8a = 4

On en déduit b puisque b = - 2 - 5a

L’équation de la droite est donc :

3) Pour démontrer que la droite (AB) est parallèle à la droite passant par le point C , de vecteur directeur il suffit de démontrer que les vecteurs

Cherchons les coordonnées de

On sait que :

Ici x = 2 y = - 1 x’ = - 8 y’ = 4

on en déduit : 2 . 4 - (- 8) . (- 1) = 8 - 8 = 0

On en déduit les vecteurs

 

La droite (AB) est donc parallèle à la droite passant par le point C , de vecteur directeur

Le fait que la droite passe par C n’intervient pas , l’essentiel étant que le vecteur directeur de (D) soit colinéaire à .

 

 

 

Exercice 5 :

III - 3 : DÉTERMINATION DE L’ÉQUATION D’UNE DROITE CONNAISSANT SON VECTEUR DIRECTEUR ET UN POINT DE LA DROITE.

Dans ce type d’exercice il nous sera donné un point par exemple le point A ( 3 ; - 4 ) et un vecteur (2 ; 1).

Le vecteur sera un vecteur directeur de la droite (D) qui passera par le point donné.

Il nous faut trouver l’équation de la droite(D).

Une méthode pratique consiste à dire :

Considérons un point M (x ; y) appartenant à la droite (D) recherchée.

Puisque les points M et A appartiennent à la droite alors :

le vecteur est colinéaire au vecteur

x .y’ - x’ . y = 0

on obtiendra l ‘équation de la droite (d) recherchée.

 

 

 

Déterminer l’équation de la droite (D) passant par le point

A ( 3 ; - 4 ) et dont un vecteur directeur est (2 ; 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Solution :

Considérons un point M élément de la droite (D) .

Le vecteur est donc colinéaire à (2 ; 1).

Appliquons la relation reliant les coordonnées de deux vecteurs colinéaires : ( x.y’ - x’.y = 0 )

( x - 3) . (1) - 2 . (y + 4) = 0

x - 3 - 2y - 8 = 0

x - 2y - 11 = 0

nous avons obtenu l’équation de la droite (d).

Cette équation peut aussi s’écrire sous une forme réduite :

x - 2y - 11 = 0 donc -2 y = - x + 11

on en déduit